謝邀.這種類別的冪級數求和一般考慮轉化成幾何級數去解決.
Solution:
稍微對其變形，有 \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^{2n-1}}{2^{n-1}}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x\cdot x^{2n-2}}{2^{n-1}}}=x\cdot\sum_{n=1}^{\infty}{\left( \frac{x^{2}}{2} \right)^{n-1}} ,然後就可以利用幾何級數了.
幾何級數： \sum_{n=1}^{\infty}{r^{n-1}}=\frac{1}{1-r}(\left| r\right|<1) 。
代入到上面的公式，可以得到 \sum_{n=1}^{\infty}{\left( \frac{x^{2}}{2} \right)^{n-1}}=\frac{1}{1-\frac{x^2}{2}}=\frac{2}{2-x^2}(\left| \frac{x^2}{2} \right|<1)
故求得其和函數為 f(x)=\frac{2x}{2-x^2} ,收斂區間為 (-\sqrt{2},\sqrt{2}) .
