數學裏面有一種叫做 元定理 的東西，這種存在比較符合「數學的本質結論」這個字面意思。但是我這裏打算順帶給出一些交叉學科的「元定理」，我個人覺得這些也可以算得上是本質結論了。
數學物理
一個沒有什麽希望的開(？)問題是量子力學過程是否是有窮的?這將對應非么正的量子力學過程
一個更常見的說法是宇宙等價於圖靈機。
這個結論是如何得到的呢？主要依賴於以下公認的物理事實：
標準的量子計算位於BQP，它本來是被認為是和圖靈機等價的。目前唯一可能的例外是兩位共享量子纏結的超人可以為經典電腦編碼停機問題的解。但本來單個超人理論上的停機極限就可以達到AD...所以說到底這只是顯示出人智的威力而已。
但無論如何，即使是宇宙不等價於圖靈機，也可以來個擴充套件邱奇-圖靈論題，讓宇宙等價為某種超圖靈機。真的如同哥德爾一般指望人的心智具有對哥德爾不完備定理的完全超越性是非常的匪夷所思和童話色調的。
這個定理具有兩面性，一方面可以用來治療熵增絕望教，一方面可以用來賜予自由意誌主義分子絕望 [1] 。
雖然熱力學定律只是一個統計定律，但蘭道爾極限從本質上揭示了資訊熵和熱力學熵之間的等價關系。而這種等價關系為熱力學第三定律提供了一個「絕對靜止」和「絕對空無」之間的數學上的關聯論據： 不存在任何語意學物件，具有零資訊熵。
這個「公理」其實也可以轉寫為數學物理的形式： 演算法熵更低的演演算法更為符合現實世界的物理情況。
這個公理的嚴格形式是和 沒有免費午餐定理 相違背的。但是如果你將其視為從統計學原理匯出的一個元物理學結論，那還是可以相容並且自然的。即所謂的 貝葉斯奧卡姆剃刀。
詳見：
這個關於逼近論的無能性定理可以賜予決定論分子必要的絕望面對一下物理現實。
這個定理作為量子秘鑰分發的基石的同時也阻斷了透過量子纏結效應超光速的可能途徑，並且理所當然地給將來的量子計算和量子糾錯帶來阻礙。
雖然相關猜想未被證明，但如果成功無異是公理化物理裏面最重要的成果之一。這一系列猜想斷言Riemann ζ 函數的非平凡零點與某個厄密算符的本征值存在聯系，以及 隨機厄密矩陣所描述的量子體系在經典極限下對應於經典混沌體系 。
社會科學
這一符合元數學常識的元定理也可以轉寫為：若演算法A在某些問題中比B平均效能優秀，那麽必然存在另一些問題B比A平均效能優秀。 這裏的A和B都是關於元演算法的結論，因此將A設為隨機亂猜，將B設為科學研究方法，商業決策，政治決策，便可批次得到許多駭人聽聞的結論。
阿羅不可能定理其實並不是否定了民主的可能性，而是……
元數學
可謂是證明論中最典範的元定理。當然也會帶來一些麻煩，比如會導致證明售賣平台的不可能性，以及對一些基於零知識證明的匿名幣進一步去中心化的阻礙。
一個被民科民哲玩爛的定理。最貼近人心的說法是 機器自動編程是不可實作的 ，或者 不引入不可定義的符號不能定義一切可定義的符號 。
又一個被民科民哲玩爛的定理。最貼近人心的說法是 機器自動糾錯是不可實作的 。
是否存在某種演演算法可以計算任何數據的演算法熵？是否能得到完美壓縮演算法？
算術系統是否真的能夠不受限制地辨識任意大的自然數？
以上命題的否定結論從數學層面充分捍衛了程式設計師的崗位存繼，是哥德爾第一不完備所指的不可證命題的一個清晰可見的例項。
這其實是最為核心的元定理，也是一階算術的中心性質。事實上這三個定理是相互等價的並且都是選擇公理的弱化：
最反直覺的向下 Löwenheim–Skolem 定理允許你將任意基數，包括大基數的模型，在外構造一個模型將其指認為可數的，也因此被稱為Skolem 悖論。
Craig和Vaught在Finite axiomatizability using additional predicates, Journal of Symbolic Logic 23 (1958)證明的這個結果可以用於移除一階算術理論中的公理模式。
一階算術因為具有良好的中心性質，而為了躲避二階以上算術的各種不完備定理，目前所有的主流二階集合論實際上都是Henkin語意下的二階算術，或者說two-sorted first order language（也有轉譯為一元二階算術），事實上所有主流的集合論要麽就是純一階算術或者是改頭換面的一階算術。
對於一個柏拉圖主義者/結構主義者來說，具有這樣的圖景：
- 一個涉及封閉力迫法，取代力迫法並且解決連續統假設的集合論將會是三階算術。
- 對於高階算術的每一個公式都可以找到等價的二階算術公式。
- 有一些大基數只在完全二階語意中可定義，而Henkin語意不可定義。
- 下降到Henkin語意，具有完備性，緊致性，半決定性，向下 Löwenheim–Skolem和有窮公理化。
- 反射論證和實數的高階性質只能在二階Henkin語意中定義而純一階算術不能實作。
- 最終下降到命題邏輯（零階算術），獲得可判定性。
超窮的階梯是否能夠不受任何限制向上攀登？超窮本身是否存在一個「極限」？Kunen不一致定理向我們展現了無限本身並沒有我們所想象的那麽「無限制」，本身還是會有一個「頂」的。
這個元定理可謂是單一數學定理對於哲學領域起到影響最大的一個元定理，因為人腦可以毫無阻礙地辨識任何有窮層次甚至超窮層次的真之定義，而塔斯基真不可定義定理在哲學上就非常違背人的直覺。目前還沒有一種解決方案可以完美解決這個問題：
- 多值邏輯方案會面臨Revenge Paradox說謊者的復仇悖論
- 使用直覺主義類別論定義全體有窮層次的真，需要引入超窮層次
- 使用超窮層次來定義有窮層次的真會引入超窮Herzberger悖論
唯一值得 喪事喜辦 的一件事是根據 Kunen不一致定理 ，超窮層次本身是有「限制」的，所以在超窮層次尋找元語言定義真謂詞的俄羅斯套娃過程或特許以在終極-L之中可以得以停止。
最後就用這個湊數好了。
參考
- ^ 只要量子力學過程是有窮的這個定理就成立，自由意誌分子不要妄圖用量子神教續命 https://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_recurrence_theorem#Quantum_mechanical_version
- ^ 可之前我們提到過塔斯基真不可定義定理，那麽這裏怎麽定義真命題呢？參見 https://zhuanlan.zhihu.com/p/33049096
