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魔鬼如何在最短時間內抓住天使?

2021-09-09財經

結論:對於邊長為1的三角形,魔鬼可以在2.03的時間內抓住天使。 以下為實作方法:

  1. 魔鬼平行於底邊築起第一道火墻,長度為 a ,把原三角形分成邊長為 a 的正三角形和梯形。 a 的取值需保證梯形的高 1/4\lt h \lt1/2 . 註意到 h=\frac{\sqrt3}{2}(1-a) .
  2. 上述梯形可以被長為 1 寬為 h 的長方形完全覆蓋。如果天使在梯形中,則魔鬼按照 對長方形長邊對半分 的方式縮小對天使的包圍並抓住她;如果天使在上方邊長為 a 的正三角形內,魔鬼對這個小正三角形 等比例重復步驟1.
  3. 根據天使是在小三角形還是梯形內,不斷 等比例重復步驟2.

第一道火墻築成後,如果天使在梯形內,那麽魔鬼抓住天使所需的總時間為 t_1=a+1/2+\frac{3\sqrt3}{2}(1-a) ;如果天使在上方的正三角形內, 那麽由於等比例的相似性,後續所有分割,天使都會選擇三角形 ,因此抓住天使所需的總時間 t_2 滿足 t_2=a+at_2 . t_1=t_2 ,解得 a = (56+15\sqrt{3}-\sqrt{1143+852\sqrt{3}})/46\approx0.67 . 此時無論天使怎麽選擇,被抓住的時間都一樣:t\approx 2.03 .

註:以上結論並非指最小時間,只是一個上界。