(1-F₂)^(3/2)-(1/2-F₂)^(3/2)=1/2
令x=1-F₂得
x^(3/2)=1/2+(x-1/2)^(3/2)
x³=1/4+(x-1/2)^(3/2)+(x-1/2)³
(x-1/2)^(3/2)=(3/2)x²-(3/4)x-1/8
(9/4)x⁴-(13/4)x³+(27/16)x²-(9/16)x+9/64=0
x⁴-(13/9)x³+(3/4)x²-(1/4)x+1/16=0
令y=x-13/36得
(y+13/36)⁴-(13/9)(y+13/36)³+(3/4)(y+13/36)²-(1/4)(y+13/36)+1/16=0
y⁴-(7/216)y²-(62/729)y+10643/559872=0
(y²-7/432)²=(62/729)y-41/2187
加入一個待定參數a得
(y²+a-7/432)²=2ay²+(62/729)y+a²-(7/216)a-41/2187
為了使右邊配成完全平方有
△=3844/531441-8a(a²-(7/216)a-41/2187)=0
a³-(7/216)a²-(41/2187)a-961/1062882=0
令t=a-7/648得
(t+7/648)³-(7/216)(t+7/648)²-(41/2187)(t+7/648)-961/1062882=0
t³-(11/576)t-23/20736=0
由卡丹公式解得t的實根為
t=(1/72)(³√(207+48√3)+³√(207-48√3))
即
a=7/648+(1/72)(³√(207+48√3)+³√(207-48√3))
於是有(y²+a-7/432)²=2a(y+31/(1458a))²
y²+a-7/432=±(y+31/(1458a))√(2a)
由y²+y√(2a)+(31√2)/(1458√a)+a-7/432=0得
y₁,₂=-√(a/2)±√(-a/2-(31√2)/(1458√a)+7/432)
由y²-y√(2a)-(31√2)/(1458√a)+a-7/432=0得
y₃,₄=√(a/2)±√(-a/2+(31√2)/(1458√a)+7/432)
F₂=1-x=23/36-y
經檢驗，只有y₃滿足條件，所以原方程式的解為
F₂=23/36-(1/36)√(14+9³√(207+48√3)+9³√(207-48√3)-(1/36)√[7-9³√(207+48√3)-9³√(207-48√3)+((√2)/31)(-5904+324³√(6354+2883√3)+324³√(6354-2883√3))]
