你好，
雖然經常聽說周老師的晉升錦標賽，但是確實沒看過。根據題主給的截圖，我試解釋如下：
- 關於 C(a_i) ：作者應該忘了說明，實際上這是代理人（官員） i 在選擇行動（努力程度） a_i 時，他所需要付出的成本。你可以認為是，官員認真工作，而放棄閑暇（leisure）所帶來的效用，或者他將這份努力用在其他工作上的機會成本。
- 關於對稱拿殊均衡：拿殊均衡要求兩個代理人的最優反應函數（best response function）存在不動點（fixed point），簡而言之就是存在唯一解 a_i^* 和 a_j^* 使得兩個代理人的最優反應函數相交。而對稱（symmetric）均衡則是要求在均衡處，所有代理人的行為一致，也即 a_i^* = a_j^* 。此時代入原一階條件
(1 - r)f[(1-r)(a_i - a_j)](V-\nu) = C^\prime(a_i)
可以發現 a_i - a_j = 0 ，從而化簡為
(1-r)f(0)(V - \nu) = C^\prime(a_i^*)
3. 後面在社會最佳化時，假設存在一個仁慈的中央計劃者（lenient central planner），他能夠控制所有人的行動，同時還希望最大化社會福利（social welfare）。此時社會福利根據微觀經濟學定義為所有代理人的剩余（surplus），即總收益（aggregate gain, AG ）和總成本（aggregate loss, AL ）之差。因此
AG = \underbrace{a_i + a_j}_{對自己省份的收益} + \underbrace{r(a_i + a_j)}_{對鄰近省份的收益}
AL = \underbrace{C(a_i)}_{代理人i的損失} + \underbrace{C(a_j)}_{代理人j的損失}
所以中央計劃者最大化的是 \max_{a_i, a_j} AG-AL
4. 補充一點：中央計劃者的決策常常被認為是社會最優（first-best）的，因為這相當於整個社會的資源分配最合理。而與之相對的是，如果由每個人單獨決策，那麽他往往不會考慮對他人的溢位效應（spillover effects, or externality），此時做出的決策就不是最優的。溢位效應的具體例子可以是：某條河流上遊省份大力發展重工業，此時汙水流到下遊省份就是損害下遊省份的利益。但是沒有協調機制的話，這種溢位效應就無法被納入上遊省份主政官員的決策框架內。為此，山東與河南簽訂「對賭」協定，就相當於將這種溢位效應內部化（internalized），從而在河南官員決策時，會考慮自己決策的溢位效應。這種做法實際上，在一些條件下（可以參考科斯（Coase）的討論），能夠實作社會最優。
希望說明白了。
