首先， 7^{1}=7 ， 7^{2}=49 ， 7^{3}=343 ， 7^{4}=2401 ， 7^{5}=16807 ， ...
可以看出， 7^{n} 的尾数只能是： 1 ， 3 ， 7 ， 9 .
也大致看得出，7^{2k} 的末位数是 1 或 9 ； 7^{2k+1} 的末位数是 3 或 7 ，因此我们可以选择关注末位数 1 和 9 ，而我们可以先猜测 77^{88} 的末位数是 1 。
\text{Solution} 1.
先定义：把 \left( 77×77 \right) 叫「一对 77 」；把 \left[ \left( 77×77 \right)×\left( 77×77 \right) \right] 叫「一组 77 」.
那么则知：
77^{88}=\overbrace{77×77×\cdots×77}^{88个}\\=\overbrace{\left( 77×77 \right)×\cdots×\left( 77×77 \right)}^{44对}\\=\overbrace{\left[ \left( 77×77 \right)×\left( 77×77 \right) \right]×\cdots×\left[ \left( 77×77 \right)×\left( 77×77 \right) \right]}^{22组}
对于 每一组 77 ，基于 7^{4}=2401 ，则知末位数是 1 ，从而不管后面有多少组 77 相乘，结果都会是末位数为 1 ，因此 77^{88} 的末位数是 1 ，即 77^{88}\equiv1\left( \text{mod}10 \right) .
\text{Solution} 2.
\large77^{88}=\left( 7×11 \right)^{88}\\\large=7^{88}×11^{88}\\\large=\overbrace{7×7×\cdots×7}^{88个}×\overbrace{11×11×\cdots×11}^{88个}
对于 \overbrace{11×11×\cdots×11}^{88个} ，末尾肯定是 1 ，所以可以舍去不看，因此只需要观察 \overbrace{7×7×\cdots×7}^{88个} ，采用前面 \text{Solution} 1. 的方法，同样会看出这个结果的末位数是 1 ，从而知 77^{88} 的末位数字就是 1 。
\text{Solution} 3.
基于\left( a+b \right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}{\left( \begin{matrix} n\\ k\\ \end{matrix} \right)}a^{k}b^{n-k} ，我们让 77^{88}=\left( 80-3 \right)^{88} ，从而知， \left( 80-3 \right)^{88}=\sum_{k=0}^{88}{\left( \begin{matrix} 88\\ k\\ \end{matrix} \right)}80^{k}\left( -3 \right)^{88-k} ，我们只需要查看 {\left( \begin{matrix} 88\\ 0\\ \end{matrix} \right)}80^{0}\left( -3 \right)^{88-0}=3^{88} 这一项，即 3^{88} 的末位数就是 77^{88} 的末位数。
显然， 3^{88}=\overbrace{\left[ \left( 3×3 \right)×\left( 3×3 \right) \right]×\cdots×\left[ \left( 3×3 \right)×\left( 3×3 \right) \right]}^{22组} ，每一组 3 都是等于 81 ，从而知道不管有多少组相乘，其结果的末位数一定是 1 ，因此知 77^{88} 的末位数字是 1 。
\text{Solution} 4.
我们知道，若
\large a\equiv b\left( \text{mod}m \right)\\\large c\equiv d\left( \text{mod}m \right)
则会有 ac\equiv bd\left( \text{mod}m \right) .
因此，基于 77^{4}=35153041\equiv1\left( \text{mod}10 \right) ，那么只要一直乘下去，就会有：
\left( 77^{4} \right)^{22}\equiv 1^{22}\left( \text{mod}10 \right) ，即 77^{88}\equiv 1\left( \text{mod}10 \right) ，这当然就是说 77^{88} 的末位数字是 1 。
\text{Solution} 5.
欧拉定理：
若 m\in \mathbb{Z}_{+}\wedge a\in \mathbb{Z}\wedge \text{gcd}\left( a,m \right)=1 ，则有 a^{\phi\left( m \right)}\equiv1\left( \text{mod}m \right) .（ \phi 是欧拉函数）.
使用这个定理，让 a=77 ， m=10 ，显然 \text{gcd}\left( 77,10 \right)=1 ，且知 \phi\left( 10 \right)=4 ，所以就有 77^{4}\equiv 1\left( \text{mod}10 \right) ，使用 \text{Solution} 4. 的方法，则知 \left( 77^{4} \right)^{22}\equiv 1^{22}\left( \text{mod}10 \right) ，所以 77^{88}\equiv 1\left( \text{mod}10 \right) 。
\text{Solution} 6.
使用一个定理：给出同余联立方程组：
\large x\equiv a_{1}\left( \text{mod}m_{1} \right)\\\large x\equiv a_{2}\left( \text{mod}m_{2} \right)\\\cdots \\\large x\equiv a_{r}\left( \text{mod}m_{r} \right)
那么这个同余联立方程组的解将由 x\equiv a_{1}M_{1}^{\phi\left( m_{1} \right)}+a_{2}M_{2}^{\phi\left( m_{2} \right)}+\cdots+a_{r}M_{r}^{\phi\left( m_{r} \right)}\left( \text{mod}M \right) 给出，其中 m_{j} 两两互素， M=m_{1}m_{2}\cdots m_{r} ， M_{j}=\frac{M}{m_{j}} ， j=1,2,\cdots,r .
那么，基于这个定理，就可以知道，如果我们有
\large x\equiv 1\left( \text{mod}2 \right)\\ \large x\equiv 1\left( \text{mod}5 \right)
那么基于 \text{gcd}\left( 2,5 \right)=1 也就会有：
x\equiv 5^{\phi\left( 2 \right)}+2^{\phi\left( 5 \right)}\left( \text{mod}\left( 2×5 \right) \right) ，而易知 5^{\phi\left( 2 \right)}+2^{\phi\left( 5 \right)}=5^{1}+2^{4}=21 ，所以可以推出 x\equiv 21\equiv1\left( \text{mod}10 \right) .【记此推论为 J 】
此时，由于 77\equiv1\left( \text{mod}2 \right) ，因此使用 \text{Solution} 4. 的方法则知 77^{88}\equiv 1^{88}\equiv1\left( \text{mod}2 \right) .
又由于 77^{4}=35153041 ，因此 77^{4}\equiv1\left( \text{mod}5 \right) ，从而 \left( 77^{4} \right)^{22}\equiv77^{88}\equiv 1^{22}\equiv1\left( \text{mod}5 \right) .
所以，总体上我们有：
\large 77^{88}\equiv1\left( \text{mod}2 \right)\\\large 77^{88}\equiv1\left( \text{mod}5 \right)
那么基于【推论 J 】，也就知道有 77^{88}\equiv1\left( \text{mod}10 \right) ，所以 77^{88} 的末位数字是 1 。
