考虑一个二阶系统 ma+cv+kx = \tau 。进行反馈控制 \tau_{input} = k_x x ，得到 ma+cv+kx = k_x x ,即 ma+cv+kx = (k_x-k) x ,记为 ma+cv = k_{sys} （x-0）
参考
可知，若 k_{sys} 小于0，则该式右侧定义了一个刚度为 k_{sys} ，原点为0的弹簧，右侧表达了动态响应，稳态情况下应当趋于零。因此，在该式的控制下，系统终将到达0，如下图所示（本文所有的弹簧的原始长度均为0）
假设此时出现了一个物体，如下图所示
在小球趋近0的时候，会碰在物体上，假设物体的刚度为k，得到弹力为 \tau = k_{env}*(x-x_{env}) ,同样的，根据上面参考的文章，该式定义了一个刚度为 k_{env} ，原点为 x_{env} 的弹簧，如下图所示
则小球最终将在两个原点之间平衡，具体位置取决于两个弹簧的刚度。
继续考虑二阶系统 ma+cv+kx = \tau ，将该式中的tau分解为输入力和环境外力，得到 ma+cv+kx = \tau_{input} + \tau_{env} ,根据上述描述可以知道，由于有 \tau_{env} 的存在，x无法到达0。为了达到零，有三种方法：
- 增大 k_x ,使得上述两个弹簧的平衡点接近于0。
- 输入力计算中添加积分环节，对x进行积分，如果x不最终达到0，则输入力会一直增大，不断将物体向0拉近，最终平衡位置只能在0，否则输入力会一直增大，不可能稳定
- 对环境力进行补偿，输入力矩设置为 \tau_{input} = k_x x- \tau_{env} ,这样的话系统的整体表达为 ma+cv+kx = k_x x ，最终趋于0。
三种方式各有优劣，这里暂时不一一列举。但是需要知道的是，机器人一般都需要有精准的定位能力，因此机器人控制的目标一定是使物体到达0（或者其他设置的目标）
以上三种方法的一个直接结果就是，系统的输入力矩会非常大，至少要和环境力矩平衡。可以考虑我们给机器人发送指令，要求机器人到达0，但是在机器人和0之间有一堵墙，机器人撞到墙上的情况，机器人无法提供如此大的力矩，损坏或报错，而且无法到达0.
既然机器人无法到达0，那么我们就需要对机器人采用不同的控制方式。这里为了方便描述，我们采用上述的对环境力进行补偿的方法来说明问题。
在这种控制方式下，输入力矩设置为 \tau_{input} = k_x x- \tau_{env} ，外力被完全补偿，系统的整体表达为 ma+cv+kx = k_x x 。为了考虑环境外力，我们就需要主动「添加」环境力进来，使得系统整体描述为 ma+cv+kx = k_x x + k_f \tau_{env} , 这样的话系统的输入力矩就变为了 \tau_{input} = k_x x + k_f \tau_{env}- \tau_{env} .这种情况下，仍考虑 \tau_{env} = k_{env}*(x-x_{env}) ，得到
ma+cv+kx = k_x x +k_f k_{env}*(x-x_{env}) = k_{sys}x+k_f k_{env}*(x-x_{env}) ,
又回到上面的情况，只是环境刚度得到了修改。
以上便得到了阻抗控制的表达： \tau_{input} = k_x x + k_f \tau_{env}- \tau_{env} 。这是最简单的表达，亦即刚度控制的表达，可以在该公式中添加其他项目（如v和a），进行更加丰富的控制，但是总的意义是一致的。
以上讨论中，我们默认假设了Ksys，Kenv，Kf*Kenv为负，因此表达为一个弹簧（引力中心）。
当Ksys<0,Kf*Kenv<0时，二者都表现为引力弹簧，系统最终稳定在0和Xenv之间。另一种情况是Ksys>0,Kf*Kenv>0，二者均表现为斥力中心,此时系统仍有可能平衡在0和Xenv之间，但是一旦系统位置位于0和Xenv之外，则所受到的合力将使系统向无限远移动，而不是二者之间的平衡位置。
当Ksys>0,Kf*Kenv<0时,0处表现为一个斥力中心，Xenv处表现为一个引力中心，则系统最终位于Xenv外，在某些情况下，由于斥力会一直大于引力，则系统趋近于无穷远。
同样的，当Ksys<0,Kf*Kenv>0时,则系统最终位于0外，在某些情况下，由于斥力会一直大于引力，则系统趋近于无穷远。。
取一个理想加速度控制系统，其m=1,c=0,k=0。阻抗控制描述同上描述为 \tau_{input} = k_x x + k_f \tau_{env}- \tau_{env} 。为了让系统保持稳定，则必须做到Kx<0,Kf>0。
事实上，稳定位置满足 k_{sys}*x + k_f k_{env}(x-x_{env}) = 0 ,得到 x_{bal} = \frac{k_fk_{env}}{k_{sys}+k_fk_{env}}x_{env} 这里取 x_{env} = 1 ,横轴表示Ksys，纵轴表示Kf*Kenv，得到平衡位置如图所示
取一个理想加速度控制系统，其m=1,c=0,k=-1。环境刚度位k=-1000，如上绘图，得到
由于Kenv比较大，所以平衡位置基本都是在1左右。当y在0附近时，可能导致Ksys=Kf*Kenv，会引起系统响应的较大变化。
在楼上的试验台中，为什么会出现推机器人，但是机器人却向手冲过来的情况呢？最重要的原因是定义力的方向和定义位置的方向相反！
