「有理数」乘法不需要定义有理数，但是要先定义整数乘法逆元
为了后面的讨论不产生困惑，先交代一点关于「逆元」概念的知识，不知道你的程度，如果你没接触过抽象代数的话就看一下，如果有一定基础知识请忽略：
关于逆元的知识。在群结构中，有一种叫做单位元素的东西。
单位元素的意思是，元素a与单位元素做运算，还得到元素a本身，比如实数加法单位元素是0，因为任何实数a+0都还得a，实数乘法元素是1，因为任何实数ax1都还得a。当然运算除了加法和乘法之外还有无穷多种。那么定义了单位元素之后就可以定义逆元，一个元素的逆元就是与这个元素进行运算以后会得到单位元素的元素。
比如实数a的加法逆元就是-a，因为a+（-a）=0（加法单位元素）
再比如实数a（a≠0）乘法逆元是1/a，因为ax（1/a）=1（乘法单位元素）
一般地，如果x的逆元记为x', 群G是H下的某种运算，a，x，x'都属于H, 则有 a□x□x'=a （群不一定有交换律但是一定有结合律）
背景交待完毕，下面正式进行解释。
有理数是整数同构出来的没错
但是你不需要知道有理数乘法是不是群，是什么东西，你可以先不加定义的去进行运算
实际上大部分时候都是要先定义数的运算，然后才能定义数集的
就像自然数同构出整数的时候，你应该看过，一开始（a，0）（0，a）（这个是自然数有序对，不是区间，a是自然数）是不加定义的，你可以先假设自然数对组成了这么个集合，然后管这个未知集合叫比如说H, 然后给H规定一些交换分配结合之类的乘法和加法运算规则，然后就可以直接去运算它。 然后再把（a,0）(0,a)起个名字叫整数，然后规定记法，把（a，0）记为a，把（0，a）记为-a，把H起个名字叫整数集，这样就有整数了。在你只有自然数的时候，你就可以假设有这个看不见摸不着不知道叫啥的东西x，他具有一种性质就是x与自然数2的和是0
有理数也一样
其实证明a/b*c/d=ac/bd
实际上就是已知具有唯一性的x，y，z，使得xb=1 yd=1 z(bd)=1，然后证明z=xy
首先赋予他们交换律和结合律，然后因为xbyd=1*1=1 所以xbyd=xy(bd)=z(bd)=1 必然xy=z（因为题设x，y，z都具有唯一性，x，y，z叫做b，d，bd的乘法逆元，即使题目不说唯一性，逆元本身也具有唯一性）。
你并不需要知道这个x，y和z到底是个什么东西，你只要知道有一个x使得xb=1就行了，就像不需要知道√2是啥，你只要知道有个a∈R+,使得a^2=2就行了，然后再记这个a为√2，或者你不知道i是啥，你只要知道有个东西平方是-1，然后你把它记作i
下一步就是规定记号。我们把x作为b的乘法逆元，记作1/b，d的乘法逆元记为1/d，bd的乘法逆元记为1/bd。这个不是什么除法，而只是一种符号记法而已，就像平方是2的正数我记为√2，平方是-1的数我记作i，3的逆元我记为-3
此外我再把n*(1/m)记为n/m
于是 a/b*c/d=axcy=ac(xy)=acz=ac/bd
从头到尾我都没有用任何有理数的概念，也没有用到除法，我只是在做整数和整数乘法逆元的乘法运算而已
或者你也可以直接把整数环进行localization，构造出分数域，这样一来a/b*c/d=ac/bd就不需要证明了，因为他本身就是强制规定
