点进来之前我以为的推广: 推广到更一般的拓扑空间，至少也不能是 \mathbb{R}^n 这样又有度量又完备的空间
实际上问题里的推广: 把极限定义里的 \varepsilon 换成 f(\varepsilon)
好吧……
实际上我感觉这个并不能叫推广，因为你把极限的 \varepsilon-\delta 定义
\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0\,\forall|x-a|<\delta\,(|f(x)-A|<\varepsilon)改写成
\forall\varepsilon>0\, \exists \delta>0\,\forall|x-a|<\delta\,(|f(x)-A|<2\varepsilon)或者
\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0\,\forall|x-a|<\delta\,(|f(x)-A|\leqslant\varepsilon)又或者
\forall n\in\mathbb{N}_+\,\exists\delta>0\,\forall|x-a|<\delta\,\left(|f(x)-A|<\frac 1n\right)看起来是减弱(或者加强)了极限的条件
well, 都把 <\varepsilon 的条件放宽到 \leqslant2\varepsilon 了，或者说都把 \forall\varepsilon >0 限制到 \forall\varepsilon=\frac 1n>0 了，总归是把条件减弱了一点吧？但是实际上上面四个条件都是 完全等价 的，换句话说是充分必要条件。
这确实是刚接触极限定义时很可能会产生的疑问，也不失为一道很好的思考题。这四个条件的等价性的 精髓 都来自于最开头的 \forall , 对于初学者想想这个问题能增进对抽象的 \varepsilon-\delta 定义的理解。
总之，问题里的命题至多能算个极限定义的等价形式或者结论，应该是算不上 推广 的。希望我表达清楚了。
那么推广自然是有的。首先我们要抛弃丑陋的 \varepsilon-\delta 语言，转而使用更优美(大雾)的邻域来定义(注意，在 \mathbb R 里这仍然与 \varepsilon-\delta 定义是 等价 的)：
\forall U(A)\,\exists U^\circ (a)\left(f(U^\circ(a))\subset U(A)\right)U 代表邻域而 U^\circ 代表去心邻域。啥意思呢？不严谨的说就是只要 f 能把 a 附近的所有点都映射到 A 的附近，那么就称 \lim_{x\to a}f(x)=A . 看到没？现在我们摆脱了 |x-a|<\delta 这样的 距离 概念，而距离是一个比较严格的东西，不是所有的空间都能有的(事实上我们把装备了距离的空间专门称为 度量空间 )。摆脱了距离的概念我们就可以把极限推广到更一般的拓扑空间, 只要拓扑空间中有邻域的概念就可以利用类似 \forall U(A)\,\exists U^\circ (a)\left(f(U^\circ(a))\subset U(A)\right) 的东西定义极限，具体比较复杂我懒得写了。
另外一个方向是仍旧留在度量空间里，只不过用更一般的度量 d(-,-) 代替 \mathbb R 中的欧式度量。例如在度量空间 (X,d) 里给定一个序列 \{x_n\}\subset X 和一个点 x ，若满足
\forall \varepsilon>0\,\exists N>0\,\forall n>0\,(d(x_n,x)<\varepsilon)我们就称 x 是 \{x_n\} 的 极限点 。
一个例子是在所有连续函数空间 C([a,b]) 里给出 L^\infty 度量||f||:=\sup_{x\in [a,b]}|f(x)| ，我们就能在C([a,b]) 里确定一列函数 \{f_n\} 的极限。在这样的极限下可以发现任何连续函数 f 都可以被一列 多项式 一致逼近，也就是说总存在一列多项式 \{p_n\} 有 p_n\to f 。这个结论可以更简单的表述为: 多项式在 C([a,b]) 中 稠密。又或者我们留在 \mathbb R 里，把极限概念本身作一下推广，也就是常见的 上极限 和 下极限 :
\varlimsup_{n\to\infty}a_n:=\lim_{n\to\infty}\sup_{k\geqslant n}\{a_k\}\varliminf_{n\to\infty}a_n:=\lim_{n\to\infty}\inf_{k\geqslant n}\{a_k\}
这个就不展开讲了，数分或者高数书上都有。
如果有错请不吝赐教
