题主的意思应该是要把奇偶性推广到有理数域上，先翻译一下题主的定义：对一个有理数（不妨先让它是正数）r=p/q，其中p，q是互质的正整数，若r/2=p/2q化成既约形式后分母仍然是q，则称r是偶数，否则r是奇数。那么，r=p/q是偶数等价于p/2是正整数，即p是偶数。
如果把整数的唯一因子分解定理扩展到有理数上（允许分解式中素因子指数为负即可），那么有理数r是偶数相当于是它的「广义素因子分解」中2的幂次为正。
这个定义本身是不存在问题的（只是对0可能单独定义下），但个人认为它没有继承整数的「奇偶性」在大多数环境下的实质。所以或许不是那么有用。（可能是由于我学的东西太少…）
奇数偶数的实质是整数模2的剩余类，简单说就是把Z分成两堆，一堆看成一个东西（更一般的说法是「等价类」，即商集的元素）。在此基础上我们可以研究Z上的所谓整除等性质，而「整除」之所以被提出就是因为Z上的乘法可逆元只有±1，其他元都是不可逆的，所以需要「带余除法」、「整除」、「素数」的概念。
换句话说，「剩余类」有价值的原因是，它让我们对Z这个环的「不那么完美」的乘法结构有了更深入的认识；而有理数是个域，它的性质好到不需要上面那些花里胡哨的东西，每个元都可逆，结构上的对称性很强。这种情况下，研究Z时的那些概念和思想或许不那么有用了。
（如有错漏欢迎讨论/赐教XD）
