抱歉之前想错了...题主提的说法是对的...
对于线性无源网络，给每个节点注入电流 I_i （满足 \sum I_i=0 ），记由节点i直接流入节点j间的电流值为 I_{ij} ，给定约束 \sum_j^{j\ne i} I_{ij}=I_i ，即电荷守恒。那么，真实存在的电流分布会使得如下函数在约束下取极小值
P = \sum_{i<j}I_{ij}^2R_{ij} = \frac{1}{2}\sum_{i\ne j}I_{ij}^2R_{ij}
而这个函数即为所有电阻元件上消耗功率之和。
为了证明这件事，我们需要考虑这样一个约束极值问题如何求解。最通用的方法自然是拉格朗日乘子法。引入参数 \lambda_i ，我们考虑函数 L = \frac{1}{2}\sum_{i\ne j}I_{ij}^2R_{ij} + \sum_i \lambda_i\left(\sum_j^{j\ne i}I_{ij}-I_i\right) 的极小值问题以消去约束。将L对 I_{ij} 取偏导数，极值条件为偏导数为零，得（注意到 I_{ij}=-I_{ji} 为非独立变量）
\frac{\partial L}{\partial I_{ij}}=I_{ij}R_{ij}+\lambda_i-\lambda_j=0
将上式沿一条环路求和，前一项为沿环路电势升降之和，而后一项自相消去为零。我们便得到了沿环路电势升降之和为零，即环路电压定律。结合电荷守恒，我们通过取极小值得到得便是真实的电流分布。我们同时可以发现，引入的乘子 \lambda_i 为相应节点上电势的负值。
其余讨论无需改变。
原始回答：
跑个题？
事实上没有什么根据说电流一定走最省电的路径
比较有根据的是下面这条：
对于线性无源网络，给每个节点注入电流 I_i （满足 \sum I_i=0 ），记两节点间的电压值为 U_{ij} 。那么，真实存在的电压分布（以及相应的电流分布）会使得如下具有功率量纲的函数取极小值
L = \sum_{i\ne j}\frac{U_{ij}^2}{2R_{ij}} - \sum_i U_iI_i
从形式上来看，前一部分是各个电阻元件耗电量之和的一半，后一部分是从外部计算的功率的负值。这个玩意取极小值怎么也对应不上更省电。
下面我们来证明这件事。将这个函数对 U_i 取偏导数，极值条件为导数为零
\frac{\partial L}{\partial U_i} = \sum_{j\ne i}\frac{U_i-U_j}{R_{ij}}-I_i=0
这个式子意味着什么呢？第一项是从节点i流向所有其余节点j的电流之和，第二项是从外部流入节点i的电流。这两项之差为零即代表电荷守恒，净流入等于净流出。也是真实电流分布所需要满足的条件。
此外，容易看出函数L中的二次型是非负定的，因此极值点为极小值。
当然问题又来了，我们依旧可以问，为什么电势分布会使得这个函数取极小值？它在电路接通的一瞬间就知道整个电路的情况吗？引入暂态过程可以逃过这个追问，但是，一个方程组对应一个函数取极小值这件事其实是相当广泛的，知乎上在这个问题下积累了一些讨论
