这类题都可以用泰勒展开来估计，比另一个解答相对更普适也更简单
首先\frac{\sin{n}}{\sin{n}+\sqrt{n}}=\frac{\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}}{\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}+1} ，且显然 \lim_{n \rightarrow +\infty}{\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}}=0 ,再由 \frac{x}{x+1}=\sum_{n=0}^{+\infty}{(-1)^nx^{n+1}}=x-x^2+o(x^2)(x\to 0) ，知 \frac{\sin{n}}{\sin{n}+\sqrt{n}}=\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}-(\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}})^2(1+o(1))(n\to +\infty)
所以 \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{\sin{n}}{\sin{n}+\sqrt{n}}}=\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}}-\sum_{n=1}^{+\infty}({\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}})^2(1+o(1)) (这个式子只是形式上的，因为后面两个级数的收敛性尚不确定）
由狄利克雷判别法显然 \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}} 收敛，同样地 \sum_{n=1}^{+\infty}({\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}})^2=\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1-\cos{2n}}{2n}} 发散；注意到 (\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}})^2(1+o(1))\sim(\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}})^2 (都是正项级数)，所以第二个级数 \sum_{n=1}^{+\infty}({\frac{\sin{n}}{\sqrt{n}}})^2(1+o(1)) 也发散，故原级数可以写成一个收敛级数和一个发散级数之和，于是原级数发散
