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未来数学会像物理会有统一理论出现吗?

2016-07-11知识

谢邀。

这是个很大的问题。首先,我们要搞清楚 物理上的大统一理论是怎么一回事 ;然后,我们再看看数学里面有没有类似的情况。所以下面分物理和数学两个部分分别进行阐述。

物理部分希望物理专业的学生帮忙指正。

物理上的大统一理论,主要是高能粒子物理领域内的事情。 它是要统一四大相互作用——电磁、强核、弱核、引力 。什么叫「统一」?就是用相同的数学形式写出来。物理学家们已经完成了电磁相互作用和弱核力的统一——在足够高能标以上,两者表现形式相同;在低能情况下(比如我们日常生活的世界),发生对称破缺,电弱相互作用分别退耦到这两种作用。然后物理学家倾向于认为,在极高能标情况下(比如宇宙大爆炸的极早期),四大相互作用是统一的。然而极高能标的事情,自然很难在地球上实验验证,所以到底怎么个统一法, 现在没有完整的理论

统一四大相互作用最困难的地方,是万有引力。这归根结底是因为引力无法量子化,标准模型里面有个「引力子」,然而这大概是为了凑数放上去的。用现有的框架量子化引力会出现不可重整化的无穷大量(不是很确定这么说对不对),现在也还没有很好很靠谱的量子引力理论。对量子引力的研究,是所谓物理里的「大统一理论」方向的一个核心问题。

值得注意的是,大统一理论不代表其他的物理理论、物理分支就被「消灭」了,就不存在了。不是这样子的。大统一如果能实现,代表我们对自然界的相互作用、对微观层次和高能领域的物质规律,有了更深刻全面的认识; 然而这不代表整个物理学科就被统一了 。别的物理分支,比如凝聚态物理什么的,该干嘛还是得干嘛,该没解决的问题还是没解决,该搬砖的还是得搬砖。所以也不用把这个前景想象得太美好了,这并不是什么「万能物理理论」,至少现在看来不是。

好现在回到数学。数学里面有没有精神上相类似的事情呢?我觉得还是有的。比如微分几何、黎曼几何出现以后,以前的那几套非欧(和欧式)几何体系——罗巴切夫斯基几何(双曲几何)、欧氏几何、椭圆几何,就分别对应到负曲率、零曲率、正曲率三种情形,也就是被统一到一个大的框架里了——而且这个框架还包含了更多的东西,比如它可以允许空间的曲率在某些地方是正的,另一些地方是负的。再比如Grothendieck提出抽象代数几何的框架,把不同域上的代数几何学囊括在一起了,甚至推广到一般环上的代数几何,同时也加深了代数几何和数论的联系——数论主要和有理数域上的算术代数几何有关系,用Grothendieck的框架,可以把有理数域上的算术代数几何和复数域上的复代数几何统一在一起研究,而以前这两套东西还是有所不同的——顺便再说一下,很多人津津乐道的Wiles对费马大定理的证明,也是在「代数几何应用于数论」这个大框架下的一个成果。再比如著名的Serre的GAGA principle,联系复代数几何和复解析几何。这样的例子还有很多很多。

稍微总结一下,数学里面跟「统一理论」精神上相似的思想, 有些是在更高的观点、更一般的框架下看待原有问题、原有的数学结构,从而找到他们的共同点,并且发现更多的新结构(比如上面举的那些例子),有些是发现不同数学分支之间的联系 (比如Langlands纲领联系代数、分析、几何、数论等等,比如数学物理里的各种对偶联系不同数学分支——比如可以把代数几何和低维拓扑联系起来,等等等等)。这些联系对于更好的认识数学、发展数学是好事,但是, 发现联系不代表要强行抹除他们的区别 ,发现新的做法不代表原来的处理方法就没有用了——比如20世纪代数数论方法蓬勃发展,但不代表传统的解析数论的方法就没用了就应该被淘汰了,张益唐对孪生素数的研究说明解析数论的方法还是有用的。用一句话来说,就是「君子和而不同」。既要看到不同领域之间存在联系,通过这种联系可以用别的领域的方法解决自己领域内的问题,或者发现新的结构,新的观念、理论;也要看到不同数学领域的思维方式和解决问题的方法是不一样的,是有多样性的,这种多样性是数学思想宝藏的重要部分。 所谓「统一、发现联系」,不是有些人机械理解地那样「所有人都在一个模子里做问题、思想问题」;而是,在不断开拓数学疆域的同时,用线条把已有数学领域的一个个孤立的点连起来,但并不是,拿橡皮擦把其中一些点擦掉,然后把别的一些点画大一点