谢邀。学线性代数有什么用？用处可大了！可以说线性代数不管是实用性上来说，还是从对未来更有用的课程的理解上来说，都是作用大大的。
这里不得不提一句，国内的线性代数教材非常的差。翻一翻国内的教材，基本上着重点在运算上，然而在计算机如此发达的今天，绝大多数情况下怎么去计算矩阵的乘积、矩阵的秩实际上并没有太大意义，重要的是计算的原理。而线性代数中最为重要的理念，比如线性空间、线性变换对于理解代数甚至高层次的数学都是非常有帮助的。如果想仔细深入理解线性代数，推荐看国外的教材。
简单举几个例子吧。
1、现在有两个n维向量(x_1,x_2,...x_n) 、(y_1,y_2,...y_n) ，我们可以定义内积：<x,y>=x_1\cdot y_1+x_2 \cdot y_2+...+x_n\cdot y_n 。有了内积的定义，我们可以另外定义两个概念：距离和正交。范数可以定义为：||x||=\sqrt{<x,x>} ，相应的距离可以定义为d(x,y)=||x-y|| ，两个向量x和y正交如果：<x,y>=0 。
现在假设有n个向量：e_1,e_2...e_n ，且满足：<e_i,e_j>=0 ，那么我们说这n个向量组成了一组正交基。下面讨论规范化的正交基，即||e_i||=1
现在定义a_i=<x,e_i> ，那么可以得到x=\sum_{i=1}^n a_i\cdot e_i ，或者写成：
x=Ea, a=(a_1,a_2,...a_n)', E=[e_1,e_2,...e_n] ，同时有E'E=I 。
好了，那么a就是x在由e_1,e_2...e_n 组成的坐标系中的坐标。最简单的比如e_i=(0,0,...1,...0)' ，也就是我们经常使用的坐标系。
说这么多有什么用呢？你可能还记得傅里叶级数。好了，我们现在把任何一个函数想象成一个向量，我们找一组函数，比如sin(nx), cos(mx) ，我们可以知道，\int_0^{2\pi} sin(nx)cos(mx)dx=0
\int_0^{2\pi} cos(nx)cos(mx)dx=0,n\ne m
\int_0^{2\pi} sin(nx)sin(mx)dx=0,n\ne m
你想到了啥？对了。如果把积分看成是「内积」，那么以上的sin cos函数就变成了一组正交基，再仔细看一下傅里叶级数的公式，傅里叶级数无非就是把一个函数往这个正交基上进行投影。所以傅里叶级数其实就是得到了一组「坐标」而已。当然了，这个坐标是无穷维的。学好了线性代数，一般意义上的n维空间能够想象，扩展到无穷维的傅里叶变幻也就没啥了。而一旦你掌握了傅里叶级数，那么声音频谱处理、图像压缩等等一些初级技术，也就没啥问题了。
2、现在考虑一个矩阵A，n-by-n维。一个x维的向量与其相乘意味着什么？
y=Ax=[a_1,a_2...a_n](x_1,x_2...x_n)'=\sum_{i=1}^n a_i\cdot x_i
也就是把A的列向量的一个线性组合。同时，A这个矩阵把一个n维空间的点x映射到了n维空间的另一个点y，我们把这种映射叫做变换。（关于线性变换，有一大堆可以写的，在此不说了，理解了线性变换才真正理解了矩阵）
线性变换有很多实用的例子，比如最简单的，如果我有一个图像，需要旋转、放大该怎么做呢？用线性变换。比如：
A=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta \end{array} \right]
这个矩阵乘以任意一个向量x，就把这个点逆时针旋转了\theta 度。以上也就是计算机处理二维、三维图像的原理。
3、说起线性变换，有一类特殊的线性变换，叫做投影。比如我有k个n维空间的向量[x_1,...,x_k]=X ，我现在希望找到一个X的线性组合，使得新得到的点与空间上的其他点y距离最小。那么可以证明，这个点为：
\hat y=X(X'X)^{-1}X'y
现在记矩阵P=X(X'X)^{-1}X', M=I-P ，可以得到：P^2=P, M^2=M, MP=PM=0 。
上面的两个矩阵，P和M，因为其乘积等于其本身，所以成为幂等矩阵。幂等矩阵跟正交投影是一一对应的。
对于任何两个向量x,y ，可以得到(Mx)'(Py)=x'MPy=0 ，所以经过M和P的变换之后的向量正交。
如果你仔细观察，会发现以上推导的东西就是最小二乘法OLS。最小二乘法的很多优良性质都可以使用幂等矩阵推导出来，特别是小样本性质，基本上离不开幂等矩阵。比如最简单的，根据勾股定理：
y'y=\hat y' \hat y +e'e=y'Py+y'My
如果把正交投影这个概念推广到概率空间，那就是条件期望的概念了。什么迭代期望公式之类的，都可以用这个正交投影进行类比。
4、说个实际点的应用吧。Morkov链相信大家都听说过。如果向量x_t 代表了t期的状态概率分布，根据马尔科夫性的假设，下一期的状态分布x_{t+1} 只跟上一期有关，跟x_{t-1},x_{t-2},... 都没有关系，那么可以把下一期的状态分布写成：
x_{t+1}=Tx_t
其中T为马尔科夫矩阵，即第(i,j)个元素为从状态i到状态j的概率，且每行加起来等于1.
比如：
T=\left[\begin{array}{ccc}0.8 & 0.1 & 0.1\\ 0.2 & 0.6 & 0.2\\ 0.1 & 0.1 & 0.8 \end{array} \right]
那么一个自然的问题是，当t趋向于无穷，稳定状态是什么呢？很简单，把T进行特征值分解，对于特征值为1的特征向量就是平稳的分布，比如在这个例子里，平稳的分布是（2/5, 1/5, 2/5）。
另外一个有趣的例子是，如果T代表的不是状态，而是几个网页。比如
T=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0.5 & 0.5\\ 1 & 0 & 0\\ 0.5 & 0.5 & 0 \end{array} \right]
这里的T意味着，第一个页面引用了第2\3个页面，第2个页面引用了第1个页面，第三个页面引用了第1、2个页面，那么这几个页面的重要程度如何呢？
这里可以这么想，一个无聊上网的人，从随机的任何一页开始看，并完全随机的点击页面上的链接，那么当这个无聊透顶的人不断的点击之后，这些网页被点击的概率分布是怎样的？
同样的思路，特征值分解，得到最终稳定的分布为（4/9,3/9,2/9），那么这些网页的重要性也就评出来了。
这也就是Google的排序算法PageRank的一个简化版本
