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从欧几里得的【几何原本】问世，几何大厦的地基算是正式打下来了，在欧几里得创建的几何公理体系下，几何大厦拔地而起，刺入苍穹.
然而与此同时，对于其的争议也从未停歇.
我们现在来回答为什么它没能解决我们一开始提的这个问题.
【几何原本】的硬伤
在【几何原本】中，欧几里得很努力地想要给点、线、面一个定义，我们来看看这几条定义：
第一条：点是没有部分的.首先这个并不是一个规范化的定义，按照逻辑学对定义的观点， 定义是指以简短的形式揭示概念的内涵和外延，使人们明确它们的意义及其使用范围的逻辑方法. 很显然，这条定义并没有清晰告诉我们什么样的东西可以称为「点」；
其次， 什么叫「部分」？ 你不能拿一个本身就模糊不清的概念去定义另一个概念...
第二条：线只有长度而没有宽度.和「点」的定义存在一样的问题，「线」的内涵与外延不清晰，而且不知道何为「长度，宽度」.
第四条：直线是它上面的点一样地平放着的线；什么叫「平放」？
而且， 倘若我们接受第四条，那就意味着：线是由点组成的. 可是点没有部分，没有大小，那线怎么会有长度呢？同样的，如果面是由线组成的，那线没有宽度，面的宽是从哪来的呢？
我们可以用「线是点的运动轨迹」来解释吗？
很遗憾同样不可以， 何为运动轨迹？符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹，所以轨迹也是由无数个点组成的.
当然，我不是否定这本书，正相反，这本书每一位数学老师以及几何爱好者都应该读一读. 我们不能因为它存在不足之处就否定其价值，同样也不能因为其巨大成就就不去正视它的问题. 真正的数学家并不会回避其存在的问题，他们会不停地想尽办法将其地基打得更牢固，而不仅仅是将这座大厦建得高高的.
在此后的两千年中，数学家们不断尝试给「点、线、面」一个严谨的、恰如其分的定义，但结果并不理想. 慢慢大家开始接受一个事实，就是 在任何一组几何公理体系中，就像它必然存在某些无法证明的基本事实一样，它也必然会存在一些无法定义的概念，如点、线、面.
可是，如果不能定义这三个家伙，那几何岂不成了空中楼阁了？
在欧几里得的几何大厦摇摇欲坠之际，天降猛男了. 在数学史上，几乎每一个重大问题的突破的背后，都有着一个个人英雄主义一样的故事.
而这次的英雄，是德国数学家，上个世纪最伟大的数学家之一， 大卫·希尔伯特（ \rm David\space \space Hilbert,1862—1943 ）.
希尔伯特几何公理体系
很惭愧的是，关于曾经学过的那些属于希尔伯特的研究成果，我已悉数还给了母校\rm hhh ...但是他的传奇英雄故事依旧深深印在我的脑海中，这是一个以一己之力推动二十世纪数学蓬勃发展的大佬. 在1900 那一年，当时几乎所有的数学家都相信他们已经完成了数学的伟大版图，直到当年的巴黎国际数学家大会上，希尔伯特提出了著名的23 个问题.
这23 个问题犹如平地惊雷，将当时的数学界原地炸开，炸出了多大的坑呢？1900 年时，世界上所有的数学知识可以装入大约八十部书籍之中；而时至今日，数学则需要数十万部书籍才能容纳…
而在前一年的1899 年，他还写了一本书—— 【几何基础】 ，为数学界带来了希尔伯特的公理体系.
我们来看一看，他怎么解决欧几里得的几何公理体系中的遗留问题的.
在他的体系中，他 将点、线、面这三个作为不加定义的基础概念，称之为几何的基本元素 ，大家可以设想一下这个场景，站在我们面前的有三个东西，这三个东西分别叫做点、线、面.
通过点、线、面的适当组合，我们就可以得到任意的几何图形了. 恰如希尔伯特所言： 「我们必定可以用桌子、椅子和啤酒杯带代替点、线、面」.
在这个体系中，点、线、面被进一步抽象，它们将不用欧几里得体系中那些直观上看得见、摸得着的东西来定义了，它们成了 纯粹的抽象元素符号.
这个处理方法完美解决了开篇的那个问题， 它避开了「线是由点构成的，面是由线构成的」这一设定，我们不再纠结于线和点、面和线之间的父子关系，而是将点、线、面设定为了三个互相独立的元素个体 ，真是巧妙啊！
那么，如何让这三个元素之间产生联系呢？它们的性质该如何体现呢？这就需要在三者之间设定一些关系和公理了.
希尔伯特在体系中构建了三种元素之间的基本关系： 关联关系、顺序关系、合同关系 ，通过这三种关系，在三者之间架起关系的桥梁. 如「点在线上」就称为「点和线相互关联」，当直线上有3 个及以上的点时，这些点之间就需要一个顺序关系了.
同时，希尔伯特还像欧几里得一样，设定了20 个公理，作为体系的基石，这里我就不粘贴了.
另外说一句，公理体系的标准 相容性，独立性，完备性 也是希尔伯特提出来的，你就说牛不牛吧~
高枕无忧了吗？
然而就是这位大佬，一位几乎完美解决几何公理体系的大佬，竟然被另一位大佬浇了一盆冷水. 这位大佬又是谁呢？[吃瓜×1]
除了我们开篇的问题外，欧几里得的几何公理体系中，其实还有一个更致命的问题，这个问题直接导致了几何世界的分裂！是什 么问题呢？[吃瓜×2]
我们现行的初中课本所讲授的，真的是欧几里得的几何体系吗？[吃瓜×3]
