事实上，对于另一位答主给的解答，我是很有些讶异的，没有看懂第一步，虽然我们的最终结果是一样的。我决计要写一写我的方法，倒也不是我的方法大约的确就会简单些，至少我自己，跟能理解，同时也为解决这道题提供另一条死路。博学的大佬或许会批评我太垃圾了，这也罢，随他去吧。
设我们的所求积分为 \color{red}{\mathscr{I}}=\int\frac{x}{\tan^2x}dx ，这道题，我们考虑使用组合积分法。我想找一个与之配对的积分，能把分母上 \tan x 约掉或者是尽量约，还想无论加减这两个积分，都使积分变得稍微简单一些，于是我找到了积分 \color{green}{\mathscr{U}}=\int\frac{2\tan x-x}{\tan^2x}dx 。
我们来组合一下试试。 \color{green}{\mathscr{U}}+\color{red}{\mathscr{I}}=\int\frac{2}{\tan x}dx=2\ln|\sin x|+C \color{green}{\mathscr{U}}-\color{red}{\mathscr{I}}=\int\frac{2\tan x-2x}{\tan^2x}dx ，第一个式子很简单，但是第二个式子比较麻烦，拆开做也不行，不信可以试。
那咋办？
我令 \color{blue}{\mathscr{J}}=\color{green}{\mathscr{U}}-\color{red}{\mathscr{I}}=\int\frac{2\tan x-2x}{\tan^2x}dx=\int\left( \frac{2}{\tan x}-\frac{2x}{\tan^2x} \right)dx ，现在要计算这个积分的值，感觉还更难了～～～没关系，在哪里跌倒，就要从哪里爬起来。我们再次考虑组合积分法
我找到 \color{purple}{\mathscr{K}}=\int\left( \frac{2}{\tan x}-\frac{2x}{\sin^2x}-2x \right)dx
我们来组合试试， \color{blue}{\mathscr{J}}+\color{purple}{\mathscr{K}}=\int\left( \frac{4}{\tan x}-\frac{2x}{\sin^2x}-\frac{2x}{\tan^2x}-2x \right)dx
=\int\left( \frac{4}{\tan x}-\frac{4x}{\sin^2x} \right)dx=4\ln|\sin x|-4\int\frac{x}{\sin^2x}dx
\color{blue}{\mathscr{J}}-\color{purple}{\mathscr{K}}=\int\left( \frac{2x}{\sin^2x}+2x-\frac{2x}{\tan^2x} \right)dx
=\int\frac{2x+2x\sin^2x-2x\cos^2x}{\sin^2x}dx=2x^2+C
其中又出现了不好解决的 L=\int\frac{x}{\sin^2x}dx ，我们考虑...... ......算了，还是不要组合积分了，认认真真的算一算，这个积分还是比较简单。
L=\int\frac{x}{\sin^2x}dx=\int x\csc^2xdx\\ =\int x d(-\cot x)=-x\cot x-\int(-\cot x)dx\\ =-x\cot x+\ln|\sin x|+C
到这里，应该知道，一切都计算完了。
\mathscr{J}+\mathscr{K}=\frac{4x}{\tan x}+C
\mathscr{J}-\mathscr{K}=2x^2+C
可知 \mathscr{J}=x^2+\frac{2x}{\tan x}+C ，\mathscr{K}=\frac{2x}{\tan x}-x^2+C
\mathscr{U}+\mathscr{I}=2\ln|\sin x|+C
\mathscr{U}-\mathscr{I}=\mathscr{J}=x^2+\frac{2x}{\tan x}+C
可知 \mathscr{U}=\ln|\sin x|+\frac{x^2}{2}+\frac{x}{\tan x}+C ， \mathscr{I}=\ln|\sin x|-\frac{x^2}{2}-\frac{x}{\tan x}+C
而 \huge\color{red}{\mathscr{I}=\int\frac{x}{\tan^2x}dx=\ln|\sin x|-\frac{x^2}{2}-\frac{x}{\tan x}+C}
正好就是我们所要求解的值。
