微积分精要和物理与数学的奥秘
「如果我比别人看得更远，那是因为我站在巨人的肩膀上。」
在17世纪的约200年前，意大利的一位大家首先发现了重力和惯性，200年后，在英国的另一位大家将这个发现首先用数学的方式论证出来，世间流传他是因为在一颗苹果树下思考重力的奥秘，被苹果砸中头顶，灵感一现才思考通了这个道理，但更可能是他和其他人在思考抛出的苹果并没有飞出地面，而是沿着地球作抛物线的椭圆运动，说明了有一个向心力在起作用，这一思考方向启发了他。其实，这个故事或真或假，也有很大可能是他为了搪塞众口而临时起意，即使真有这个经过，是否跟苹果砸中头顶有关系，无从考证，也没有必要探究清楚，并不影响我要在下文讲解的内容。
正文：
在17世纪，数学界，或许早已精通如何计算累加值，比如从1累加到10，它的总数等于55，应该说从古罗马古经典时期，当时的数学家就已经得出了这个计算公式，公式如下
sum(1 \sim x)=(1+x)x/2
它的意思是从1累加到x，其中每个值只自增1，将首尾的数字相加再乘以相加的次数，再除以2，就等于累和的值。也许英国的那位大家是从中得到了一些经验或者启发，又或者从比萨斜塔著名的自由落体实验中得到启示。
当一个物体下落的时候，移动速度越来越快，那么这个下落的过程中，如果把总时间分割为每单位时间，其中每单位时间经过的距离就会不断地增加，把后一单位时间的距离减去前一单位时间的距离，等于多出来的一段自增距离，那么，这位大家如果根据这个原理，测量出了每个单位时间增加的距离都相同，就能够断定，这个下落的物理现象中存在一个恒定的加速度，再根据比萨斜塔的自由落体运动实验，两个质量差异巨大的物体落下经过的路程和过程用时几乎一样，那么加速度相同，是不是受到了同一个力量呢？这或许就是他找出了地球存在一个同样的引力在作用的原因。
那么将他在大脑里得出的这个原理导入到数学的累和公式中，比如把第一单位时间内移动的距离好比为1，把最后落地所经过的最后单位时间移动的距离比作x，假设每单位时间增加的距离等于1，则受这个加速度影响的整个移动距离就等于(1+x)x/2。其实这里每单位时间移动的距离增加的1，就是整个下落运动中的加速度a，如图1所示进一步讲解
从每单位时间就增加a=1的加速度来看，整个落地过程就可以表示为从移动距离的1、2、3…一直到10落地，再将这几个按单位时间分割的移动距离累和起来，就是在a=1这个加速度影响下移动了t=10个单位时间所移动的总距离。
每次单位时间移动的距离等于整个下落过程中每单位时间内的速度，所以，我们把这个累和公式中，后一个x单位当作t时间，得到距离h的式子等于
h=sum(1 \sim x)=\frac{(1+x)x}{2}=\frac{(v_{0}+v_{t})t}{2}
又从数学关系 v_{t}=v_{0}+at 上得到
h=\frac{(v_{0}+v_{t})t}{2}=\frac{v_{0}t+(v_{0}+at)t}{2}=v_{0}t+\frac{at^{2}}{2}
这是牛顿的第一经典力学定律的距离计算公式的由来，可见物理和数学是互通的，并且也是可以互相得到启发的。当然这位大家在后来更将这个原理发展到了极致，创作出了流传几百年的经典数学原理：微积分。
微积分的用处非常广泛，特别是到了近代，它可以用于计算不规则形状的长度和面积，以及体积。在微积分出现以前，要计算不规则的复杂模型的数据，是行不通的，当时只有规则的模型，比如矩形、三角形、圆形、球体等这些几何形状才能被精确计算。当然也有比较古老笨拙的计算方法，就是把不规则形状的模型放入一个立方体内，然后注满水，再把模型捞出来，计算水的体积，再用立方体的体积减去水的体积，就得到不规则模型的体积了。但如果单从数学的方法入手，就必须要借用微积分的思路了。那位大家将计算力学中距离累和的公式引入到了计算曲线中，来解决测量曲线长度或曲面面积的数值的问题，如图2。
从计算定加速度距离的公式中看，要计算一条曲线的长度，可以将这曲线移动距离的时间t分割若干单位时间，也就是自增量 \Delta t ，也可以记作 \Delta x ，如图2中，每个\Delta t 内，线段都移动若干格子的距离，这个距离可以记作 \Delta y ，假设每个距离增加的量相等，也就是在曲线中从物理的角度看，定加速度a恒定，则曲线长度式子h可以写作 h=\frac{(v_{0}+v_{t})t}{2} ，它其实是梯形的面积S计算公式。
其实这是\Delta x 无限小的情况下，一种近乎垂直的曲线的计算状况，实际计算曲线长度需要用到勾股定律计算\Delta x 和\Delta y 组成的三角形最长边的长度来累和。一个微分的单位斜边可以用 \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} 来表示，将整个微分的曲线过程累和就是曲线的长度了，如下
h=\sum_{a}^{b}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=\sum_{a}^{b}{\Delta x \sqrt{(\frac{\Delta y}{\Delta x})^{2}+1}}=\int_{a}^{b}\sqrt{f'(x)^{2}+1} dx
f'(x)=\Delta y/\Delta x 就是微积分中的导数，虽然它只是表示一个值，通常也叫做导函数，它的实现是将原函数代入到导函数的推导函数中进行演化后得到，比如导函数的推导函数等于
f'(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}
如果将 f(x)=x^{2} 这个曲线作为原函数带入到导函数的推导函数中，得到
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}=\frac{2x\Delta x +( \Delta x)^{2}}{\Delta x}=2x+\Delta x =2x
那位大家从函数和函数演化后的导函数之间的关系找到了一个突破口，那就是比如 f'(x)=2x 函数的线段到x轴的面积，刚好等于原函数f(x)=x^{2} 的值。如下图3
在导函数和原函数相同的自增量 \Delta x 的情况下，导函数的值到x轴的距离的S面积公式得到的值，刚好等于原函数的值，比如用 h=\frac{(v_{0}+v_{t})t}{2} 来计算代入 x=3 ，得到 S(f'(3))=v0t+\frac{at^2}{2}=0+\frac{2*3^2}{2}=9=f(3)
导数的x是一次方的时候，可以使用这个梯形面积公式来论证，当 f(x)=x^{n>1} 的时候，导数曲线的变化率更大，变加速a更明显，再用这个梯形面积式子计算导数面积误差就会越来越大，只有在导数是直线的情况，才可以利用累和公式进行精确计算。
它体现了 「函数是导数的面积，导数是函数的斜率」 这两大数学关系。随后在这两大关系上完成了微积分的创作。
这个关系是不是都适用于所有函数呢？以下图4讲解
左边函数图是导数，右边是原函数，原函数运用推导导数的函数得到导函数，若把p、p、p ... Hn 看作无数竖条值，分别乘以dx宽就是每个竖条的面积，累加起来就等于S(f'(x))导数的面积，
则 S(f'(n))=(0+p+p+p+...+Hn)dx ，又因为 Hn=\frac{Ln}{dx} ，从图中关系看出f(n)=0+L1+L2+L3+...+Ln=(0+p+p+p+...+Hn)dx
所以得到 S(f'(x))=f(x) ，所以，在积分中的表达式 \int_{}^{} 中需要在导数后面加上一个 dx 。
微积分的关系方法是通过累和公式得到启发，利用了自然界中的物体加速运动求轨迹进行累和的方法来启发，比如做加速度的曲线运动中每次运动的距离累和起来刚好等于原函数的值，是通过这物理和数学的原理来实现精确计算曲线和曲面。是当代物理和数学之间最大的奥秘，也是一切力学基础的开端。
导函数推导原函数后，原函数的后面可以有一个任意的常数值，因为即使有这个任意的常数值，原函数也能推导成同一个导函数，如 f(x)=x^{2}+b, b\in(-\infty,\infty) ，这个函数中，b取任意常数，得到的导函数都等于 f'(x)=2x ，所以，导函数逆推原函数后都要加一个C常数，如 \int_{}^{}f'(x)dx=F(x)=y+C
那位大家为了解决这个问题，就设立了定积分的概念，用一个b所取得的值去减去a所取得值 F(b)-F(a) ，就在同一个函数中把C这个常数合理的去掉了，最后得到一个x区间内的导数面积。
这种定积分的原理，常用于计算函数的面积和长度。
这篇文章提供了一种微积分的推导思路，以及微积分是通过怎样的思路完成的，也是微积分的精要。它由英国那位大家先是通过数学累和公式完成了经典力学的基础原理，再通过经典力学的基础原理完成了微积分的原理。
积分在工业中的运用
比如可以计算一个曲面圆台体的表面积，以omnia是积分的符号， F(x) 作为由导函数逆推回去的任意原函数，求 f'(x)=x^{2} 的1.5~3之间线段绕x轴旋转产生的曲面圆台体的表面积，如图5
需要使用定积分先算出阴影部分的面积 ，因为「函数是导数的面积「，将0~3产生的面积减去0~1.5产生的面积就是阴影部分的面积SS=\int_{1.5}^{3}(x^2)dx=F(3)-F(1.5)=(\frac{3^3}{3}+C)-(\frac{1.5^3}{3}+C)=7.875
因为阴影面积S可以看作是导数f'(x)=x^{2} 中1.5~3之间曲线到x轴的距离的集合，也是曲面圆台体阴影部分的曲线绕x轴的半径的集合，再将阴影面积S乘以 2\pi 就是1.5~3之间的阴影部分曲线绕x轴的周长的集合，这个周长集合就等于曲面圆台体的表面积S'
圆环部分的表面积 S'=2\pi S=2*3.1415926*7.875=49.48008345
面积是 \pi R^2 , 这个曲面圆台的体积使用 R=x^2 作为微分部分参与面积的积分得到V’
V'=\int_{1.5}^{3}\pi (x^2)^2 dx ,详细数据就不计算了。
计算曲线长度
比如有曲线 y=f(x) ，取 \sqrt{\Delta x^2 +\Delta y^2} 是这条曲线的每次微分的斜边长，转换一下得到斜边微分 ds=\Delta x \sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2} ，因为新的曲线长度导数为 g'(x)=\frac{ds}{dx} ，再将导数g'(x)积分得到曲线长度L公式 L=\int_{a}^{b}g'(x)dx=\int_{a}^{b} \sqrt{f'(x)^2+1}dx
接下一篇论文：微分的精要原理
常用原函数推导的导函数：
积分导函数的dy推导的原函数：
说点题外话：物理、数学等科普理论研究只是我个人的业余爱好，科普并非本职专业，谢谢各位的点阅。
