你好，
虽然经常听说周老师的晋升锦标赛，但是确实没看过。根据题主给的截图，我试解释如下：
- 关于 C(a_i) ：作者应该忘了说明，实际上这是代理人（官员） i 在选择行动（努力程度） a_i 时，他所需要付出的成本。你可以认为是，官员认真工作，而放弃闲暇（leisure）所带来的效用，或者他将这份努力用在其他工作上的机会成本。
- 关于对称纳什均衡：纳什均衡要求两个代理人的最优反应函数（best response function）存在不动点（fixed point），简而言之就是存在唯一解 a_i^* 和 a_j^* 使得两个代理人的最优反应函数相交。而对称（symmetric）均衡则是要求在均衡处，所有代理人的行为一致，也即 a_i^* = a_j^* 。此时代入原一阶条件
(1 - r)f[(1-r)(a_i - a_j)](V-\nu) = C^\prime(a_i)
可以发现 a_i - a_j = 0 ，从而化简为
(1-r)f(0)(V - \nu) = C^\prime(a_i^*)
3. 后面在社会最优化时，假设存在一个仁慈的中央计划者（lenient central planner），他能够控制所有人的行动，同时还希望最大化社会福利（social welfare）。此时社会福利根据微观经济学定义为所有代理人的剩余（surplus），即总收益（aggregate gain, AG ）和总成本（aggregate loss, AL ）之差。因此
AG = \underbrace{a_i + a_j}_{对自己省份的收益} + \underbrace{r(a_i + a_j)}_{对邻近省份的收益}
AL = \underbrace{C(a_i)}_{代理人i的损失} + \underbrace{C(a_j)}_{代理人j的损失}
所以中央计划者最大化的是 \max_{a_i, a_j} AG-AL
4. 补充一点：中央计划者的决策常常被认为是社会最优（first-best）的，因为这相当于整个社会的资源分配最合理。而与之相对的是，如果由每个人单独决策，那么他往往不会考虑对他人的溢出效应（spillover effects, or externality），此时做出的决策就不是最优的。溢出效应的具体例子可以是：某条河流上游省份大力发展重工业，此时污水流到下游省份就是损害下游省份的利益。但是没有协调机制的话，这种溢出效应就无法被纳入上游省份主政官员的决策框架内。为此，山东与河南签订「对赌」协议，就相当于将这种溢出效应内部化（internalized），从而在河南官员决策时，会考虑自己决策的溢出效应。这种做法实际上，在一些条件下（可以参考科斯（Coase）的讨论），能够实现社会最优。
希望说明白了。
