围棋存在先手必胜／后手必胜的情况，又是否所有回合制游戏只要算力达到了就一定有先手必胜或者先手必输法则？

2022-03-28财经

本来这题只需要五个字（策梅洛定理）就可以解决，参见此答案围棋有没有必胜策略？ - 知乎。

但是这类问题在知乎上反复出现，我有必要针对题主的问题说明添加一些补充。

题主的疑问是，围棋双方每一步棋都有几百种合法的选择，一盘棋又有几百个回合，排列组合一下以后是天文数字。一个必胜策略，能够包含这些天文数字吗？

1、「抢三十」

我们先来看一个小学生都能理解的游戏：（来源：资优网）

小聪与小明在抢30。两个人从1 开始，轮流往下报数， 每次至少报一个数，至多报三个数 ，谁报到30 就胜了。「1，2」，小聪开始报数。「3，4，5」，小明接着往下报。「6」。「7，8」。结果，小聪报到30，小明输了。
接连报了几次，总是小聪胜。「怎么老输？我的运气真不好。」「这不是运气。胜有胜的道理，垐有输的原因。换个玩法，你就明白了。」小聪取出一副扑克，说：「我们轮流取牌，每次至少取一张，至多取三张。这回取最后一张的算输。」
玩了几次，还是小明输。
「老是你赢，把诀窍告诉我吧。」
「诀窍很简单，把问题倒过来想。假设是你报30，那么，在这之前的一次，你应当报到多少呢？」
「不能报到29，也不能报到28 或者27。要是我报到27，28，29，你就可以报30。所以，我应该报到26。要是我报到26，那么，不管你怎么报，我都能报到30 了。」
「对。要抢30，先抢26。那要抢26，先抢什么呢？」
「先抢22。」
「对。这样，我们就得到了一串取胜的数——30，26，22，18，14，10，6，2。这样，第一个人应当报到2，他就可以陆续报到6，10，14，18，22，26，30。」
「这么说来，总是第一个报数的人胜了。」
「是这样的。不过，要是他不知道诀窍，让第二个人抢去一个取胜的数，胜利就可能易手了。」

这个问题，我想对于在座各位都是很清楚的。「抢三十」，先手方有必胜策略，而且可以精确地描述：先手方先报1,2；之后，若后手方报n个数（n=1,2或3），则先手方立即回以4-n个数。最终，先手方总能抢到30.

这个具体的必胜策略，包含了多少种不同的变化呢？后手方每次有3种选择，先手方每次只有一种回应。6个回合之后，先手方就能抢到30. 因此，总变化数是3^6=729种。

那么，如果小明和小聪抢的不是三十，而是每次可以报1-299个数字，报出1,000,000者为胜呢？类似于刚才的分析，我们照样可以为先手方找到必胜策略：先手方只需先报100。然后，若后手方报n个数（n=1,2,...,299），先手方立即回以300-n个数。先手方总能抢到100,400,700,1000,...999700,1000000这一串数，从而获胜。

我们来看这一套必胜策略包含的变化。后手方每次有299种选择，先手方每次也只有一种回应。3330个回合之后，先手方就能获胜。因此，总变化数是299^3330, 不管这数多大，反正肯定比围棋的总变化数（游戏树复杂度，限定棋局在400手以内完成）要多。然而，这个数字终究是有限的. 因此，这个无聊的游戏，就算是上帝来跟我玩，只要我先手，我稳操胜券。相信各位能够理解其中的逻辑。

2、有限游戏

由此，我们引出策梅洛定理（维基百科）

定理表示在二人的有限游戏中，如果双方皆拥有完全的资讯，并且运气因素并不牵涉在游戏中，那先行或后行者当一必有一方有必胜/必不败的策略。

这条定理虽然是用自然语言描述，但其中的概念都很直观，没有定义上的争议。重点在于「有限」二字。上面讲的「抢一百万」游戏，虽然变化巨多，但终究有限。在2002版（最新）中国围棋规则的限定条件下，围棋也是有限游戏。

中国围棋竞赛规则（2002年版）
第一章总则

第6条禁止全局同形

着子后不得使对方重复面临曾出现过的局面。

这一条防止了一盘围棋无限进行下去。需要说明的是（尽管我已经说明了N次，若我不再重复，一定会有人挑刺。请了解禁全同规则的朋友原谅我的啰嗦。），「三劫循环」、「长生」等特殊棋型，在中国规则下严格说不构成循环，参见陈祖源老师的研究。现在部分比赛中将三劫循环判和棋/无胜负，是一种权宜之计，或者对局双方对规则不了解的情况下达成的协议，或者采用的是日本/韩国规则。

综上所述，围棋是个有限游戏。因此，取决于贴先数（贴子、贴目）的不同，黑方或白方之一必然有必胜/不败的策略。

围棋尽管变化繁多，但实际变化总数仍然不敌「抢一百万」这个无脑游戏。因此，围棋有一个包罗万象的必胜策略并不是什么奇怪的事。

（注：行文简洁起见，下文可能出现「黑/白方必胜（不败）」等表述，其含义为，在此局面下，黑/白方有一个必胜（不败）策略。）

3、非构造性证明

也许有些思维活跃的读者还有疑问。「抢一百万」这个游戏变化虽多，但掌握规律以后没有任何难度，因为我们有一个简单易行的必胜策略。但是围棋呢？你找得出一个具体的必胜策略吗？吴清源不能，柯洁不能，甚至AlphaGo也不能。就算是棋艺已臻化境的AlphaGo，距离围棋之神还远得很。你找不出具体的必胜策略，怎么敢打包票说要么先手必胜，要么后手必胜？

数学上，能够证明存在，而构造不出一个具体例子的概念，海了去了。我们把这样的证明叫作「非构造性证明」。

我们还是以游戏举例（来自维基百科）

A、B两人进行这样一个数学游戏：在黑板上轮流写下1到2000中的任意一个整数（含边界，A先写），但不能写下任何黑板上已存在的数的因子。问：谁有必胜策略？
证明：
考虑一种新的游戏：A'、B'在黑板上轮流写下2到2000中的任意一个整数（含边界，A'先写），但不能写下任何黑板上已存在的数的因子。在这个游戏中谁有必胜策略？
如果A'有必胜策略，那么A在原游戏中也采用这个策略。注意，1在以后的过程中再也不能写上了（因为它是任何数的因子）。由于在新游戏中A'有必胜策略，所以在原游戏中，A有必胜策略。
如果B'有必胜策略，那么A在原游戏中先写上1。这就相当于构建了上述新游戏，B是新游戏中的A'，A是新游戏中的B'。由于在新游戏中B'有必胜策略，所以在原游戏中，A有必胜策略。
综上所述，A有必胜策略。
上述证明过程中并没有找出具体的必胜策略，但是仍然证明了A有必胜策略。

这个游戏没有刚才的「抢一百万」那么无脑，找出一个具体的必胜策略很有难度。但是，我们通过逻辑推理，仍然能够证明先手方必胜，不必找一个具体的策略。

同理，我们可以证明，围棋在 贴先为零 的情况下，执黑一方有必不败策略。

预备知识：

中国围棋竞赛规则（2002年版）
第一章总则
第7条终局
1、棋局下到双方一致确认着子完毕时，为终局。
2、对局中有一方中途认输时，为终局。
3、双方连续使用虚着，为终局。
第9条计算胜负
着子完毕的棋局，采用数子法计算胜负。将双方死子清理出盘外后，对任意一方的活棋和活棋围住的点以子为单位进行计数。
双方活棋之间的空点各得一半。
棋盘总点数的一半180.5点为归本数。一方总得点数超过此数为胜，等于此数为和，小于此数为负。

证明：假设白方有必胜策略，将此策略记为S。则黑方可以在第一手选择虚手（即停一招）。现在棋盘为空枰，轮白方落子，相当于双方交换了先手。即白方变为先手方，黑方变为后手方。若白方在棋盘任意位置落子，则黑方可以模仿前文假设后手方存在的必胜策略S，获得胜利，黑胜。若白方同样选择虚手，则双方连续虚着。按照规则第7条第3款，棋局终止，计算胜负。按规则第9条，双方各得空枰的一半，平局。综上，白方不存在必胜策略，因此黑方不败。

注意：这不是模仿棋。

如果你认为黑先模仿棋必胜，你对围棋的认识还有欠缺。请来 知乎 Live - 全新的实时问答学习围棋基础知识。全套仅售299哦~

4、有贴先的围棋

当然，无贴先的围棋并不公平，只在历史上存在。现行中国规则，黑棋须贴先3.75子，以平衡先手优势。小数部分是0.75的贴先杜绝了和棋的可能。在排除和棋之后，黑白双方有且只有一方存在必胜策略。AlphaGo最新公布的自战50局，白方赢得其中38局，胜率76%。现行围棋的合理贴目 - 知乎专栏 @湿猫一文中，提到3.75子的贴先规则下，职业棋手的对局，白方胜率约为53%。由此，我们可以认为，现行中国规则，对于职业棋手，白方稍优。虽然不能下确定的结论，我们也可以认为，白方必胜的可能性大于黑方必胜。因此，中国规则或许有必要引入收后还子、细化贴先，以便允许贴先数等同于日本韩国规则的6.5目。若此问题得到解决，中国规则可以说接近完美，围棋规则统一指日可待。

以围棋变化之多，我们已经了解的，诚为沧海一粟。必胜策略客观存在，却又是人力不能所及。人类千年探寻围棋之道，又引入高科技手段造出阿尔法狗，仍不终极真理的百分之一。然而，我们不会放弃继续探索。这是围棋的魅力。