微積分難嗎？這個問題不用我來添油加醋，有人透過爬蟲抓取微博相關話題以及評論，制作得到了一份「大學生掛科排行榜」，可以看到「高等數學」遙遙領先。這裏的「高等數學」指的就是微積分。看來微積分還是挺難的。
那麽有沒有學習的訣竅呢？我在這個領域已經深耕多年，發現其實只要弄清楚了微積分的主線，學習起來並不難。
大家好，我是馬同學的主創李翔宇，同學們叫我小李就好了。今天由我來推銷下我們剛剛出版的第二本書【馬同學圖解微積分(上)】。
當先別急著滑走！放心，不白推銷，今天我要拿出看家本領，講解一下我們這本書是如何透過微積分的主線來整合微積分的各個知識點的，同時也可以幫助你建立微積分的 知識地圖 。相信不管是學過的，還是初學的同學都會有所廣益。
2 微積分知識地圖
如果只能用一句話來概括這張微積分知識地圖，那就是「 曲線的線性近似 」。
舉個例子，如下圖中的藍色曲線可以用紅色直線來近似，這就是所謂的「曲線的線性近似」。這麽做的原因是相比曲線而言，直線更容易處理。
聽起來很簡單？那為什麽這門課程學習起來有一定的難度？為什麽課程的內容會這麽多，需要用厚厚的一本書才能勉強交代清楚？
這是因為「曲線的線性近似」中有非常多的細節需要處理，在接下來讓我們把這些細節補上去。
2.1 極限
首先需要說清楚什麽是「曲線的線性近似」，以上述的曲線和直線的近似為例，會發現這條曲線和這條直線還是有很大差異的。其實這裏的近似指的是在某點附近該曲線可以用該直線來近似。
為了說清楚「在某點附近該曲線可以用該直線來近似」，本書就用了一個單元來介紹極限 ，並透過介紹鄰域 、去心鄰域 、無窮小 、高階無窮小等概念來完成這個描述。
2.2 微分和導數
第二個問題是，
如何找到「曲線的線性近似」
，畢竟這條直線也可以近似曲線。
那條直線也可以近似曲線。
到底選擇哪一條？這就是書中「
微分與導數
」單元需要解決的問題。
上面提到的曲線還只是可以用函式來描述的曲線，那麽用方程式描述的曲線，比如用方程式描述的橢圓的近似直線應該怎麽求出？這就需要用到「微分與導數」單元中介紹的
隱函式
。
或者參數方程式描述的曲線，要找到近似某個點附近曲線的直線，就還需要用到隱函式和 參數方程式求導 。
總而言之微分與導數這個單元的核心,就是 找到 各種代數形式的「曲線的線性近似」。
2.3 定積分
找到「曲線的線性近似」之後就可以來解決一些關於曲線的問題了。比如，在現實中要測量一根彎彎曲曲的繩子的長度，都是先捋直了再測量。
在數學中，要計算一段曲線的長度，捋直是不可能的。不過可以考慮將該曲線分成多段。
然後每一段曲線都可以用一根線段來近似。
很顯然該曲線分成的段數越多，近似效果越好。
最終將這些小線段的長度加起來，就得到了曲線的長度。這種相加就是本書中「
定積分
」單元需要解決的問題。
這種相加的其實挺復雜，也稱為積分技術，除了在書中「定積分」單元中後面四節有介紹之外，還有一部份是在「不定積分」單元中介紹的。
3 定積分的套用
「曲線的線性近似」除了求曲線的長度還有非常多的套用，比如上面已經求出曲線長度了，那麽將曲線旋轉起來就可以計算出旋轉曲面的表面積，這個求解的基礎還是「曲線的線性近似」。
再比如透過很多矩形來近似曲邊梯形的面積，這其實也是一種線性近似，再累加起來，最終得到曲線下的面積。
物理中還有很多套用，比如圖由於彈簧推動某藍色矩形塊，使其發生位移，這種受到變力情況下的做功可以根據定積分求出。
還有找到如下圖這種平衡玩具的質心等。
上面都是「曲線的線性近似」的套用，更多細節都寫在本書的「 定積分的套用 」單元裏。
4 微分方程式
前面幾個單元的內容，都是知道了曲線，然後求出近似曲線的直線。
這一過程是可以反過來的，就是已知用於近似曲線的直線，然後去求解該曲線。這也稱為「
曲線的線性近似
」的
逆問題
。
我們在最後一個單元「微分方程式」就是介紹這種逆問題的：
逆問題的求解難度往往更大，微分方程式求解就是更難的問題，本身完全可以單獨成為一門學科。不過按大學課綱的要求，「微分方程式」這個單元只是粗略地介紹一下，並沒有更深入的探索。
4.1 泰勒公式、曲率
如果用的不是直線，而是圓，那麽近似的區域就大了一些，這就是曲率圓。這樣的近似可以去衡量曲線各點的彎曲程度。
而如果不用圓，用多項式曲線近似的話，近似的區域會更大，這就是大名鼎鼎的泰勒公式。
總之在「
微分均值定理
」這個單元裏,我們介紹了更多近似曲線的方法。
5 結語
至此，這張 知識地圖 就完整了，不過我們還要調整一下順序。這樣做的原因是，一方面是和同濟版的目錄保持一致，更重要的是一些定理、定義有前後關系，調整後才方便介紹和引入。
最終的知識地圖就是這本
【馬同學圖解微積分(上)】
的寫作提綱，以此為骨架，歷時數年終於羽翼豐滿，出版成書！
少俠我看你骨骼驚奇，天賦異稟，定是自學微積分的好苗子，買一本秘籍吧！包你一學就會，從此數學之路所向披靡～
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為了分享這張知識地圖宣傳新書，馬同學小李拍了第二個真人出鏡的視訊，歡迎三連～
