為什麽說連續對映是一個拓撲概念？？

2016-07-15知識

拓撲是一種刻畫連續對映的重要方式。為此我們首先看一個命題。

\Large{\bf{Proposition\quad 1:}}

設 (X, d_X) 與 (Y, d_Y) 為兩個度量空間。設 f : X → Y 為一個對映。則以下說法是等價的：

(\rm i). f : X → Y 是連續的。

(\rm ii). 對於每個在 Y 中的開集 O ，集合 f^{−1} (O) 在 X 中是開集。

\rm(iii). 對於每個在 Y 中的閉集 C ，集合 f^{−1} (C) 在 X 中是閉集。

命題 1 告訴我們，一個對映 f : X → Y 是連續的，若且唯若開集(閉集)的原像集為開集(閉集)時。現在我們想將這種對連續函式重要的刻畫方式重新進行表述。為此我們要使用度量空間上的拓撲 ^[1] ^[2] ：

參考