已知 \aleph_0 是可數集的元素個數.
用 \lvert S \rvert 表示集合S 的元素個數
定義集合 Q[a,b] 是a到b之間的有理數
於是有
\sum_{x\in Q[1, 2]}x\ge \sum_{x\in Q[1, 2]} 1= \lvert Q[1, 2] \rvert=\aleph_0
\sum_{x\in Q[1, 2]}x\le\sum_{x\in Q[1, 2]} 2 =2 \lvert Q[1, 2] \rvert = 2 \aleph_0 = \aleph_0
同理有
\sum_{x\in Q[0, 1]}x\le\sum_{x\in Q[0, 1]} 1 =\lvert Q[0, 1] \rvert = \aleph_0
\sum_{x\in Q[0, 1]}x\ge \sum_{x\in Q[0.5, 1]} 1/2 =\lvert Q[0.5, 1] \rvert/2 = \aleph_0 /2 = \aleph_0
所以有 \sum_{x\in Q[0, 1]}x = \sum_{x\in Q[1, 2]}x= \aleph_0
不過 集合的勢 \aleph_0 是定義在集合上的, 用來表示集合的序關系, 不是傳統意義上的數, 所以不是很嚴謹... 但並不影響結論.
