今將證明
\color{blue}{\text{Theorem}} 單調函式的間斷點至多可列。設 f(x) 在 (a,b) 上單調遞增，如果它僅有有限多個間斷點，結論是平凡的，我們只需研究這間斷點無限多的場合。
首先，我們熟知所有這些間斷都是 第一類間斷 ，也即是說 f(x) 在每個間斷點處的左、右極限均存在，只不過它們並不都等於該點的函式值。
假如 c 就是這樣的一個間斷點，於是有 f(c-)< f(c+). 為了敘述方便，我們把形如 (f(c-),f(c+)) 的開區間稱為 f(x) 在 x=c 處的 躍區 ，簡記為 L(c).
顯然地， f(x) 在每個間斷點處都存在一個躍區，並且可以證明這些躍區必不相交，也即是說
\color{blue}{\text{Prop.}} 對於間斷點 c'>c, 必有 L(c)\cap L(c')=\varnothing.這證明是容易的。考慮在 c,c' 之間插入 d,d' 使得 c<d<d'<c'. 於是有 f(d)\le f(d'), 現在固定 d' 並讓 d\to c^+, 則有 f(c+)\le f(d'); 同理，固定 d 並讓 d'\to c'^-, 可得 f(d)\le f(c'-). 於是 f(c-)< f(c+)\le f(c'-)<f(c'+). 這就證得了 \text{Prop. }
如此，就可以得到與這無限多個間斷點形成對射的躍區，且任何兩個躍區都不相交。我們在每個躍區中總能求得一個有理數從而做成某個有理數集。由於躍區不交，這些有理數必不同，於是這做成的有理數集與躍區的全體形成了對射。有理數集可列，從而這躍區也可列， \text{Theorem} 由此得證。為了讀者理解上的方便，將上述論證過程的脈絡總結如下
全體間斷點與全體躍區形成對射，全體躍區又與某有理數集形成對射，於是全體間斷點與這有理數集形成對射。由於任何的有理數集可列，於是全體間斷點也可列。現在，可以回答當前問題如下
因為單調函式的間斷點至多可列，換言之，單調函式幾乎處處連續，於是不存在處處不連續的單調函式。最後岔開多說幾句。 依這裏證得的\text{Theorem}, 單調函式的間斷點構成一個零測集，於是再依 \text{Lebesgue} 定理，即可直接斷定
定義在閉區間上的單調函式可積。
