事實上，這個函式被稱為 Prime Zeta Function
P(s)=\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac1{p^s}=\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\frac1{5^s}+\frac1{7^s}+\frac1{11^s}+\cdots
這個函式在 \Re(s)>1 時收斂，
全體質數的倒數和，即 P(1) 是發散的，且
\sum_{p\le x}\frac1p=\ln\ln x+B_1+\mathcal{O}\left(\frac1{\ln x}\right)
這很難不讓我們聯想到全體自然數的倒數和
\sum_{n\le x}\frac1n=\ln x+\gamma+\mathcal{O}\left(\frac1x\right)
其中 B_1 是 Meissel-Mertens 常數 ， γ 是 Euler–Mascheroni 常數
明顯這個函式與 Riemann Zeta Function 有關系
由 歐拉乘積公式 \zeta(s)=\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac1{1-p^{-s}} ,則
\ln\zeta(s)=-\sum_{p\in\mathbb{P}}\ln\left(1-p^{-s}\right)=\sum_{p\in\mathbb{P}}\sum_{n=1}^\infty\frac{p^{-ns}}{n}=\sum_{n=1}^\infty\frac1n\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac1{p^{ns}}
由定義知 \ln\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{P(ns)}{n}
再根據 莫比烏斯反演
P(s)=\sum_{n=1}^\infty \mu(n)\frac{\ln\zeta(ns)}{n}
