搞數學的人也都是普通人，沒必要神話，沒必要，真的。願風神忽悠你(๑> <๑）
先說結論：這幾個本質上都是對映無誤，但是有著各自用途，故而有了不同的說法。函式是從數到數的對映，泛函是從函式到數的對映，算子是從對映到對映的對映。而變換則更強調兩個空間內元素相互的對映關系。
題主說的也不是沒有道理，這幾個本質上都是對映的不同說法，T：A →B。但是對映跟對映也會有一定的區別，隨著套用場景不同而不同。
就像是，我們在機器學習領域當中叫訓練集和測試集，在計量裏面就叫樣本內和樣本外。於謙的父親在這一幕裏面被稱作王老爺子，在下一幕裏面就被叫於予玉，於小千，但是本質上都是一個人，不同說法。
蘋果是水果，香蕉也是水果，蛇果也是水果，鳳梨是水果，鳳梨也是水果，但是這幾個名詞是騙人的把戲嗎？並不是。
那麽為什麽要區分這幾個不同的說法，我們講，函式是數集之間的對映，A跟B都是數集，這個很好理解。
但是如果某一天，我們想要研究從數集R到另一個數集R的所有函式（註意是研究函式）有什麽性質，那麽我們應該研究的空間裏面的元素是什麽？函式。那麽這個對映我們應該怎麽稱呼？泛函。lp，C［a，b］，Lp都是函式空間，裏面的元素是函式。泛函又是什麽到什麽的對映？從函式到數的對映。這個時候我們就應該接觸過banach空間和範數了。
假如，我們給定A是三維直角座標系下面的向量空間，給定B是球座標系下的向量空間，如果A和B同構，A裏面的元素跟B裏面的元素能不能做對應？可以，從a到b，從b到a都是可以的那麽這個對應對映怎麽稱呼？變換。傅立葉變換就是頻域和譜域的變換，將A空間的元素和B空間的元素之間建立聯系。像物理裏面的勞侖茲變換，也是不同參考系下的元素之間的對映關系。
算子其實也很好理解，舉個直觀的例子，ABC是三個三維的方陣，其中C＝AB。能夠將向量x（x1，x2，x3）進行線性變換，這個時候我們就可以把ABC看成是三個線性變換函式，由於交換律被滿足，Cx＝（AB）x＝A（Bx），那麽，我們能不能把B看成從A到C的對映，可以。那麽怎麽稱呼？把從對映到對映的對映稱之為算子。我們之後就可以研究算子群的性質了，比如緊性，比如零元，比如左伴隨之類的性質，也正是這樣，我們才能做矩陣的LU分解。
以上
