微積分精要和物理與數學的奧秘
「如果我比別人看得更遠，那是因為我站在巨人的肩膀上。」
在17世紀的約200年前，義大利的一位大家首先發現了重力和慣性，200年後，在英國的另一位大家將這個發現首先用數學的方式論證出來，世間流傳他是因為在一顆蘋果樹下思考重力的奧秘，被蘋果砸中頭頂，靈感一現才思考通了這個道理，但更可能是他和其他人在思考丟擲的蘋果並沒有飛出地面，而是沿著地球作拋物線的橢圓運動，說明了有一個向心力在起作用，這一思考方向啟發了他。其實，這個故事或真或假，也有很大可能是他為了搪塞眾口而臨時起意，即使真有這個經過，是否跟蘋果砸中頭頂有關系，無從考證，也沒有必要探究清楚，並不影響我要在下文講解的內容。
正文：
在17世紀，數學界，或許早已精通如何計算累加值，比如從1累加到10，它的總數等於55，應該說從古羅馬古經典時期，當時的數學家就已經得出了這個計算公式，公式如下
sum(1 \sim x)=(1+x)x/2
它的意思是從1累加到x，其中每個值只自增1，將首尾的數位相加再乘以相加的次數，再除以2，就等於累和的值。也許英國的那位大家是從中得到了一些經驗或者啟發，又或者從披薩斜塔著名的自由落體實驗中得到啟示。
當一個物體下落的時候，移動速度越來越快，那麽這個下落的過程中，如果把總時間分割為每單位時間，其中每單位時間經過的距離就會不斷地增加，把後一單位時間的距離減去前一單位時間的距離，等於多出來的一段自增距離，那麽，這位大家如果根據這個原理，測量出了每個單位時間增加的距離都相同，就能夠斷定，這個下落的物理現象中存在一個恒定的加速度，再根據披薩斜塔的自由落體運動實驗，兩個品質差異巨大的物體落下經過的路程和過程用時幾乎一樣，那麽加速度相同，是不是受到了同一個力量呢？這或許就是他找出了地球存在一個同樣的重力在作用的原因。
那麽將他在大腦裏得出的這個原理匯入到數學的累和公式中，比如把第一單位時間內移動的距離好比為1，把最後落地所經過的最後單位時間移動的距離比作x，假設每單位時間增加的距離等於1，則受這個加速度影響的整個移動距離就等於(1+x)x/2。其實這裏每單位時間移動的距離增加的1，就是整個下落運動中的加速度a，如圖1所示進一步講解
從每單位時間就增加a=1的加速度來看，整個落地過程就可以表示為從移動距離的1、2、3…一直到10落地，再將這幾個按單位時間分割的移動距離累和起來，就是在a=1這個加速度影響下移動了t=10個單位時間所移動的總距離。
每次單位時間移動的距離等於整個下落過程中每單位時間內的速度，所以，我們把這個累和公式中，後一個x單位當作t時間，得到距離h的式子等於
h=sum(1 \sim x)=\frac{(1+x)x}{2}=\frac{(v_{0}+v_{t})t}{2}
又從數學關系 v_{t}=v_{0}+at 上得到
h=\frac{(v_{0}+v_{t})t}{2}=\frac{v_{0}t+(v_{0}+at)t}{2}=v_{0}t+\frac{at^{2}}{2}
這是牛頓的第一經典力學定律的距離計算公式的由來，可見物理和數學是互通的，並且也是可以互相得到啟發的。當然這位大家在後來更將這個原理發展到了極致，創作出了流傳幾百年的經典數學原理：微積分。
微積分的用處非常廣泛，特別是到了近代，它可以用於計算不規則形狀的長度和面積，以及體積。在微積分出現以前，要計算不規則的復雜模型的數據，是行不通的，當時只有規則的模型，比如矩形、三角形、圓形、球體等這些幾何形狀才能被精確計算。當然也有比較古老笨拙的計算方法，就是把不規則形狀的模型放入一個立方體內，然後註滿水，再把模型撈出來，計算水的體積，再用立方體的體積減去水的體積，就得到不規則模型的體積了。但如果單從數學的方法入手，就必須要借用微積分的思路了。那位大家將計算力學中距離累和的公式引入到了計算曲線中，來解決測量曲線長度或曲面面積的數值的問題，如圖2。
從計算定加速度距離的公式中看，要計算一條曲線的長度，可以將這曲線移動距離的時間t分割若幹單位時間，也就是自增量 \Delta t ，也可以記作 \Delta x ，如圖2中，每個\Delta t 內，線段都移動若幹格子的距離，這個距離可以記作 \Delta y ，假設每個距離增加的量相等，也就是在曲線中從物理的角度看，定加速度a恒定，則曲線長度式子h可以寫作 h=\frac{(v_{0}+v_{t})t}{2} ，它其實是梯形的面積S計算公式。
其實這是\Delta x 無限小的情況下，一種近乎垂直的曲線的計算狀況，實際計算曲線長度需要用到勾股定律計算\Delta x 和\Delta y 組成的三角形最長邊的長度來累和。一個微分的單位斜邊可以用 \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} 來表示，將整個微分的曲線過程累和就是曲線的長度了，如下
h=\sum_{a}^{b}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=\sum_{a}^{b}{\Delta x \sqrt{(\frac{\Delta y}{\Delta x})^{2}+1}}=\int_{a}^{b}\sqrt{f'(x)^{2}+1} dx
f'(x)=\Delta y/\Delta x 就是微積分中的導數，雖然它只是表示一個值，通常也叫做導函式，它的實作是將原函式代入到導函式的推導函式中進行演化後得到，比如導函式的推導函式等於
f'(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}
如果將 f(x)=x^{2} 這個曲線作為原函式帶入到導函式的推導函式中，得到
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}=\frac{2x\Delta x +( \Delta x)^{2}}{\Delta x}=2x+\Delta x =2x
那位大家從函式和函式演化後的導函式之間的關系找到了一個突破口，那就是比如 f'(x)=2x 函式的線段到x軸的面積，剛好等於原函式f(x)=x^{2} 的值。如下圖3
在導函式和原函式相同的自增量 \Delta x 的情況下，導函式的值到x軸的距離的S面積公式得到的值，剛好等於原函式的值，比如用 h=\frac{(v_{0}+v_{t})t}{2} 來計算代入 x=3 ，得到 S(f'(3))=v0t+\frac{at^2}{2}=0+\frac{2*3^2}{2}=9=f(3)
導數的x是一次方的時候，可以使用這個梯形面積公式來論證，當 f(x)=x^{n>1} 的時候，導數曲線的變化率更大，變加速a更明顯，再用這個梯形面積式子計算導數面積誤差就會越來越大，只有在導數是直線的情況，才可以利用累和公式進行精確計算。
它體現了 「函式是導數的面積，導數是函式的斜率」 這兩大數學關系。隨後在這兩大關系上完成了微積分的創作。
這個關系是不是都適用於所有函式呢？以下圖4講解
左邊函式圖是導數，右邊是原函式，原函式運用推導導數的函式得到導函式，若把p、p、p ... Hn 看作無數豎條值，分別乘以dx寬就是每個豎條的面積，累加起來就等於S(f'(x))導數的面積，
則 S(f'(n))=(0+p+p+p+...+Hn)dx ，又因為 Hn=\frac{Ln}{dx} ，從圖中關系看出f(n)=0+L1+L2+L3+...+Ln=(0+p+p+p+...+Hn)dx
所以得到 S(f'(x))=f(x) ，所以，在積分中的運算式 \int_{}^{} 中需要在導數後面加上一個 dx 。
微積分的關系方法是透過累和公式得到啟發，利用了自然界中的物體加速運動求軌跡進行累和的方法來啟發，比如做加速度的曲線運動中每次運動的距離累和起來剛好等於原函式的值，是透過這物理和數學的原理來實作精確計算曲線和曲面。是當代物理和數學之間最大的奧秘，也是一切力學基礎的開端。
導函式推導原函式後，原函式的後面可以有一個任意的常數值，因為即使有這個任意的常數值，原函式也能推導成同一個導函式，如 f(x)=x^{2}+b, b\in(-\infty,\infty) ，這個函式中，b取任意常數，得到的導函式都等於 f'(x)=2x ，所以，導函式逆推原函式後都要加一個C常數，如 \int_{}^{}f'(x)dx=F(x)=y+C
那位大家為了解決這個問題，就設立了定積分的概念，用一個b所取得的值去減去a所取得值 F(b)-F(a) ，就在同一個函式中把C這個常數合理的去掉了，最後得到一個x區間內的導數面積。
這種定積分的原理，常用於計算函式的面積和長度。
這篇文章提供了一種微積分的推導思路，以及微積分是透過怎樣的思路完成的，也是微積分的精要。它由英國那位大家先是透過數學累和公式完成了經典力學的基礎原理，再透過經典力學的基礎原理完成了微積分的原理。
積分在工業中的運用
比如可以計算一個曲面圓台體的表面積，以omnia是積分的符號， F(x) 作為由導函式逆推回去的任意原函式，求 f'(x)=x^{2} 的1.5~3之間線段繞x軸旋轉產生的曲面圓台體的表面積，如圖5
需要使用定積分先算出陰影部份的面積 ，因為「函式是導數的面積「，將0~3產生的面積減去0~1.5產生的面積就是陰影部份的面積SS=\int_{1.5}^{3}(x^2)dx=F(3)-F(1.5)=(\frac{3^3}{3}+C)-(\frac{1.5^3}{3}+C)=7.875
因為陰影面積S可以看作是導數f'(x)=x^{2} 中1.5~3之間曲線到x軸的距離的集合，也是曲面圓台體陰影部份的曲線繞x軸的半徑的集合，再將陰影面積S乘以 2\pi 就是1.5~3之間的陰影部份曲線繞x軸的周長的集合，這個周長集合就等於曲面圓台體的表面積S'
圓環部份的表面積 S'=2\pi S=2*3.1415926*7.875=49.48008345
面積是 \pi R^2 , 這個曲面圓台的體積使用 R=x^2 作為微分部份參與面積的積分得到V’
V'=\int_{1.5}^{3}\pi (x^2)^2 dx ,詳細數據就不計算了。
計算曲線長度
比如有曲線 y=f(x) ，取 \sqrt{\Delta x^2 +\Delta y^2} 是這條曲線的每次微分的斜邊長，轉換一下得到斜邊微分 ds=\Delta x \sqrt{1+(\frac{\Delta y}{\Delta x})^2} ，因為新的曲線長度導數為 g'(x)=\frac{ds}{dx} ，再將導數g'(x)積分得到曲線長度L公式 L=\int_{a}^{b}g'(x)dx=\int_{a}^{b} \sqrt{f'(x)^2+1}dx
接下一篇論文：微分的精要原理
常用原函式推導的導函式：
積分導函式的dy推導的原函式：
說點題外話：物理、數學等科普理論研究只是我個人的業余愛好，科普並非本職專業，謝謝各位的點閱。
