TREE(3)有多大這個問題其實知乎上已經有很多回答了，我本人也回答過，但是由於 A^{A(187196)}(1) 這個離譜的東西再一次被拿出來，所以我決定再回答一次。
先說結論： A^{A(187196)}(1) 和 TREE(3) 毫無關系，前者是後者的下界是一個在簡中互聯網廣為流傳的謠言。
要是實在摳字眼也算對，畢竟 TREE(3) 確實大於 A^{A(187196)}(1) ，不過要這麽算的話，1也是 TREE(3) 的下界，畢竟 TREE(3) 也大於1。 A^{A(187196)}(1) 在作為 TREE(3) 下界時，和1沒有區別，都毫無意義，因為 TREE(3) 早就已經有了遠好過它們的下界。
下面我將用兩個工具表示出 TREE(3) 的一個較好的下界。註意：本文下面所介紹的只是這兩種工具「使用方法」，並不是它們的正確定義，我們只需要知道怎麽用就可以了。
第一個工具叫做 FGH(Fast~~Grow~~Hierarchy) ，即快速增長層級。它是一系列函式：
f_0(n)=n+1\\ f_{α+1}(n)=f_α(f_α(f_α(..f_α(n))))←n層\\ 最基礎的是 f_0(n)=n+1 ，它就是讓自變量加一：
f_0(0)=0+1=1\\ f_0(1)=1+1=2\\ f_0(2)=2+1=3\\ f_0(3)=3+1=4\\ f_0(100)=100+1=101\\ 而第二條就是它的增長方法，這時有人可能疑惑：函式下標上的這個 α 是個什麽東西？
α 是一個序數，可以是後繼序數也可以是極限序數，但是這裏我們不探討這二者，也不用管這個定義，只是為了使用 FGH 的話，我們可以簡單粗暴的將 α 看做「一坨東西」的簡寫。
比如在 f_{5}(n)=f_{4+1}(n) 中， α 就是4
在 f_{100×114514-1919810+4396^{777}+1}(n) 中，α就是 100×114514-1919810+4396^{777}
在 f_{@$^\&!+1}(n) 中，α就是 @$^\&! ——至於「 @$^\&! 」這坨我隨便亂寫的鬼畫符是什麽並不重要，who cares？
於是根據第二條的定義，我們就有了：
f_{5}(n)=f_{4+1}(n)=f_{4}(f_{4}(f_{4}(..f_{4}(n))))\\ f_{100×114514-1919810+4396^{777}+1}(n)=f_{100×114514-1919810+4396^{777}}(f_{100×114514-1919810+4396^{777}}(...f_{100×114514-1919810+4396^{777}}(n)))\\ f_{@$^\&!+1}(n)=f_{@$^\&!}(f_{@$^\&!}(f_{@$^\&!}(...f_{@$^\&!}(n))))\\ 對，即便 α 是一坨不知道什麽玩意兒的鬼畫符，我們也可以直接將其展開成套娃。而展開的層數，或者說套娃的層數，就是自變量n，n是多大，就有多少層：
f_1(2)=f_{0+1}(2)=f_0(f_0(2))=f_0(3)=4\\ f_1(3)=f_{0+1}(3)=f_0(f_0(f_0(3)))=f_0(f_0(4))=f_0(5)=6\\ f_1(5)=f_0(f_0(f_0(f_0(f_0(5)))))=10\\ f_2(3)=f_1(f_1(f_1(3)))=f_1(f_1(f_0(f_0(f_0(3))))=f_1(f_1(6))=f_1(12)=24\\ f_3(3)=f_2(f_2(f_2(3)))=f_2(f_2(24))=f_2(f_1(f_1(f_1(...f_1(24)))))←24層f_1\\ ~~~~~~~~~=f_2(24×2^{24})=f_1(f_1(f_1(...f_1(24×2^{24}))))←24×2^{24}層f_1\\ ~~~~~~~~~=24×2^{24}×2^{24×2^{24}}
於是這樣，我們可以有無數個函式，每一個我們都可以算出它是多大，並且我們可以發現，比起讓自變量n增長，讓函式的下標增長是一個相當厲害的東西,： f_0(3) 只是4， f_1(3) 只是6， f_2(3) 只是24，而 f_3(3) 就已經是一個非常巨大的數位了，可以想象 f_4(3) 有多大。
【這裏給出一個結果：葛立恒數的 G(1) ，它約等於 f_5(3) 】
於是，為了讓函式的下標增長的更快，我們在下標上引入一個新的東西： \omega
它是第一個極限序數，是1+1+1+1....加無限次的結果，代表全體自然數的上界——太復雜了，我們只是要用它來算數而已，我們不用管它到底是什麽東西，Nobody cares~
和之前的 α 一樣，我們就把它當做一個符號，它的作用是在下標無法被展開時「變成自變量」，來看看例子吧！
f_\omega(3)=f_{3}(3)\\ f_\omega(5)=f_{5}(5)\\ f_\omega(100)=f_{100}(100)\\ f_\omega(114514)=f_{114514}(114514)\\ 而當它套娃時，我們就要註意「自變量」到底是什麽了： f_\omega(f_\omega(3)) ，最右邊的 \omega ，它的自變量是3。但左邊這個 \omega 呢？它的自變量可不是3，而是 f_\omega(3)=f_3(3) ，所以左邊這個 \omega 會變成 f_3(3) ，也就是：f_\omega(f_\omega(3))=f_\omega(f_3(3))=f_{f_3(3)}(f_3(3))\\
這樣，我們就實作了我們引入 \omega 的目標：讓函式下標增大——把上一個函式的計算結果當做下標輸入給下一個函式，這不比「加一加一加一」地增加下標快多了？
【這裏給出第二個結果： A(187196) 的這個A函式有 A(n)≈f_\omega(n) 】
別忘了，函式下標上的 α 可以代指任何東西，它當然也可以代指 \omega ，於是我們自然可以有 \omega+1 這樣的東西，我們給 \omega 加了1。它要怎麽展開呢？難道 f_{\omega+1}(3)=f_{3+1}(3)=f_{4}(3)?
當然不是，讓我們回看 \omega 的作用，它並不是在任何情況下都變成自變量而是在「下標無法被展開時」變成自變量。 \omega+1 顯然可以展開，它就是：
f_{\omega+1}(n)=f_{\omega}(f_{\omega}(f_{\omega}(...f_{\omega}(n))))\\ 當然，自變量是多少，就展開多少層，不止現在是這樣，以後所有我們需要展開的時候，都是「自變量是多少，就展開多少層」。
於是我們有了結論： f_{\omega+1}(3)≠f_{3+1}(3)=f_{4}(3) ，它是
f_{\omega+1}(3)=f_{\omega}(f_{\omega}(f_{\omega}(3)))\\ 【這裏給出第三個結果：葛立恒數 G(64)≈f_{\omega+1}(64) 】
既然我們有了 \omega+1 ，自然也可以有 \omega+2、\omega+3、\omega+4... 等等一系列東西，它們都可以像上面那樣被展開計算：
f_{\omega+2}(3)=f_{\omega+1}(f_{\omega+1}(f_{\omega+1}(3)))\\ f_{\omega+3}(2)=f_{\omega+2}(f_{\omega+2}(2))\\ f_{\omega+4}(4)=f_{\omega+3}(f_{\omega+3}(f_{\omega+3}(f_{\omega+3}(4))))\\ 【這裏給出第四個結果： A^{A(187196)}(1)≈f_{\omega+1}(f_\omega(187196))<f_{\omega+1}(f_{\omega+1}(3)) 】
我們一直給 \omega 「加一」，直到這樣的盡頭，它會是......沒錯， \omega+\omega=\omega×2
就像 f_{\omega+1}(n)≠f_{n+1}(n) 一樣， f_{\omega×2}(n) 自然也不是 f_{n×2}(n) ，而是：
f_{\omega×2}(n)=f_{\omega+\omega}(n)=f_{\omega+n}(n)\\ 就像之前一樣，它也可以被加一：
f_{\omega×2+1}(n)=f_{\omega×2}(f_{\omega×2}(f_{\omega×2}(...f_{\omega×2}(n))))\\ f_{\omega×2+1}(3)=f_{\omega×2}(f_{\omega×2}(f_{\omega×2}(3)))=f_{\omega×2}(f_{\omega×2}(f_{\omega+\omega}(3)))\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~=f_{\omega×2}(f_{\omega×2}(f_{\omega+3}(3)))=f_{\omega×2}(f_{\omega×2}(f_{\omega+2}(f_{\omega+2}(f_{\omega+2}(3)))))=......\\ 可以看到， f_{\omega×2+1}(3) 這個數位已經相當可怕了， A^{A(187196)}(1) 連上面最內層的 f_{\omega+2}(3) 都打不過，而三層 f_{\omega+2} 算完之後的大麥克數位，會被第二個 \omega×2 拿去「變身」，假如我們設這個大麥克數位是"臥槽"，那麽就有：
f_{\omega×2+1}(3)=f_{\omega×2}(f_{\omega×2}(臥槽))=f_{\omega×2}(f_{\omega+\omega}(臥槽))=f_{\omega×2}(f_{\omega+臥槽}(臥槽))\\ 然而，最外面還有一層 \omega×2 ......
讓我們繼續，因為能加一，就肯定能一直加，就肯定會有這樣的東西出現： \omega×3=\omega×2+\omega
自然也可以把它當做下標丟進 FGH 裏：
f_{\omega×3}(n)=f_{\omega×2+\omega}(n)=f_{\omega×2+n}(n)\\ 於是...... \omega×3+1 說，你好：
f_{\omega×3+1}(3)=f_{\omega×3}(f_{\omega×3}(f_{\omega×3}(3)))\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~=f_{\omega×3}(f_{\omega×3}(f_{\omega×2+\omega}(3)))\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~=f_{\omega×3}(f_{\omega×3}(f_{\omega×2+3}(3)))\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~=f_{\omega×3}(f_{\omega×3}(f_{\omega×2+2}(f_{\omega×2+2}(f_{\omega×2+2}(3)))))\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~=......
我說停停，不要再算了，要壞掉了。
到這裏，聰明的小夥伴肯定已經發現了，我們可以把 \omega 當做一個特殊的數位計算：
1+1+1+1...加無限次，就是ω。
ω+1+1+1+1....加無限次，就是ω+ω=ω×2。
ω×2+1+1+1+1...加無限次，就是ω×2+ω=ω×3。
ω×3+1+1+1+1...加無限次，就是ω×3+ω=ω×4。
於是這樣重復無限次，就有了ω×ω=ω^2，反正咱們把它當數位算，這很合理.jpg
還沒完呢，咱們可以繼續加：
ω^2+1+1+1...加無限次，就是ω^2+ω。
ω^2+ω+1+1+1...加無限次，就是ω^2+ω+ω=ω^2+ω×2。
直到再來一輪無限次的重復，就有了ω^2+ω^2=ω^2×2。
順著這樣操作，ω^2×3，ω^2×4...都會自然出現，在它們的最後，是ω^2×ω=ω^3。
繼續這樣一直操作，我們還可以有ω^4、ω^5....而在它們的最後，是ω^ω。
當然這還依然沒有結束，ω^ω還可以繼續操作，ω^ω+1一樣是可以的。不僅可以+1，還可以乘2：ω^ω×2，還可以乘ω：ω^ω×ω= ω^{ω+1} ......直到ω的指數也變成了ω^ω： ω^{ω^ω}
直到ω指數上的ω的指數也變成了ω^ω： ω^{ω^{ω^ω}} ，直到ω的指數疊加了ω層......
為什麽我要說這些呢？因為順著走這條路，我們可以一直往上爬得到非常巨大的ω的運算，而把它們丟進 FGH 裏展開時，需要將它們拆開，也就相當於逆著走這條路。來看看例子吧！
f_{ω^3}(3)=f_{ω^2×\omega}(3)=f_{ω^2×3}(3)=f_{ω^2×2+ω^2}(3)=f_{ω^2×2+ω×\omega}(3)=f_{ω^2×2+ω×3}(3)=f_{ω^2×2+ω×2+\omega}(3)=f_{ω^2×2+ω×2+3}(3)=f_{ω^2×2+ω×2+2+1}(3)
隨著我們讓 \omega 不斷地變成自變量，我們最後一定總是會得到 α+1 這樣的形式，我們就可以用 FGH 的第二條規則來展開，就比如上面的例子中， α 就是 ω^2×2+ω×2+2 。
更復雜的例子一樣可以像這樣透過讓 \omega 不斷變成自變量來得到 α+1 的形式：
f_{\omega^{\omega^{\omega}}}(3)=f_{\omega^{\omega^{3}}}(3)=f_{\omega^{\omega^{2}×\omega}}(3)=f_{\omega^{\omega^{2}×3}}(3)...參考上面的展開例子,有原式=f_{\omega^{ω^2×2+ω×2+3}}(3)=f_{\omega^{ω^2×2+ω×2+2}×\omega}(3)...這一步或許有的朋友看不太懂，這是因為:\\\omega^{α+1}=\omega^α×\omega，在這裏α=ω^2×2+ω×2+2，於是我們可以繼續：\\ 原式=f_{\omega^{ω^2×2+ω×2+2}×3}(3)=f_{\omega^{ω^2×2+ω×2+2}×2+\omega^{ω^2×2+ω×2+2}}(3)=......
我再說停停， \omega^{\omega^{\omega}} 這個東西已經足夠大了，即便自變量只取3，要想把它變成 α+1 的形式也要寫上好久了。這個數位的結果已經是葛立恒數和 A^{A(187196)}(1) 望塵莫及的了，事實上，即便是 f_{\omega^3}(3) ，對這兩者來說也一樣是望塵莫及。
但是，想要表示 TREE(3) 的一個較好下界，我們還得繼續。
剛才，我們得到的最大的東西是一個 \omega 的無限層指數塔，也就是 \omega^{\omega^{\omega^{.^{.^{.^{\omega}}}}}} 這樣的一個東西。那不如......咱們想個辦法，讓這個指數塔的層數也可以隨著自變量的增加而增加？
於是就引出了我們的第二個工具： OCF ，它的中文名字可以叫「序數塌縮函式」，聽起來不明覺厲，所以咱們也不管它本來的定義與規則是咋樣的，反正，又不是不能用.jpg
OCF 是類似這樣的東西： \psi(α) 。同樣地，這裏的 α 也是代指任何東西。和 FGH 一樣，我們也需要知道如下兩個規則：
1、\psi(0)=\omega^{\omega^{\omega^{.^{.^{.^{\omega}}}}}}\\ 2、\psi(α+1)=\psi(α)^{\psi(α)^{\psi(α)^{.^{.^{.^{\psi(α)}}}}}}
有了這兩個規則，我們就可以把它丟進 FGH 裏當做函式的下標來展開計算了，同樣地， OCF 的展開咱們也是遵循「自變量是多大就展開多少層」這個規則：
f_{\psi(0)}(3)=f_{\omega^{\omega^\omega}}(3)\\ f_{\psi(0)}(5)=f_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^\omega}}}}(5)\\ f_{\psi(0)}(10)=f_{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}}}}}}}}(10)\\ f_{\psi(0)}(100)=f_{\omega^{\omega^{總之這裏一共有100層}}}(100)
同樣地，咱們也可以把一個 OCF 的運算式，也就是 \psi(...) 這樣的東西看做 α ，然後給它做和 \omega 一樣的運算。事實上，聰明的朋友在看到 OCF 的第二條規則時，肯定就已經想到這一層了。能運算，就能展開：
f_{\psi(0)+1}(n)=f_{\psi(0)}(f_{\psi(0)}(f_{\psi(0)}(...f_{\psi(0)}(n))))\\ f_{\psi(0)+\omega}(n)=f_{\psi(0)+n}(n)\\ f_{\psi(0)×2}(n)=f_{\psi(0)+\psi(0)}(n)=f_{\psi(0)+\omega^{\omega^{\omega^{.^{.^{.^{\omega}}}}}}}(n)\\ f_{\psi(0)×\omega}(n)=f_{\psi(0)×n}(n)\\ f_{\psi(0)^2}(n)=f_{\psi(0)×\psi(0)}(n)=f_{\psi(0)×\omega^{\omega^{\omega^{.^{.^{.^{\omega}}}}}}}(n)\\ f_{\psi(0)^{\omega}}(n)=f_{\psi(0)^n}(n)\\ f_{\psi(0)^{\psi(0)}}(n)=f_{\psi(0)^{\omega^{\omega^{\omega^{.^{.^{.^{\omega}}}}}}}}(n)\\
想象一下 f_{\psi(0)+1}(3)=f_{\psi(0)}(f_{\psi(0)}(f_{\psi(0)}(3))) ，僅僅是 f_{\psi(0)}(3)=f_{\omega^{\omega^{\omega}}}(3) ，3層 \omega 的指數塔已經是一個遠遠超越葛立恒數和 A^{A(187196)}(1) 的數位了，而它卻僅僅是 f_{\psi(0)+1}(3) 展開的第二層裏，那個 \psi(0) 會變成的 \omega 的指數塔的層數！更別提第二層之外還有第三層，這還僅僅只是 \psi(0)+1 ，TREE(3) 的深淵才剛剛起步......
我們在上面寫了 \psi(0)^{\psi(0)} 這樣的東西，根據 OCF 第二條規則，我們自然知道， \psi(0) 的無限層指數塔就是 \psi(1) ，把它丟進 FGH 裏，我們就可以用自變量的大小當做 \psi(0) 的指數塔層數，而每一個 \psi(0) 又都是 \omega 的指數塔堆砌而成的：
f_{\psi(1)}(3)=f_{\psi(0)^{\psi(0)^{\psi(0)}}}(3)=f_{\psi(0)^{\psi(0)^{\omega^{\omega^\omega}}}}(3)=f_{\psi(0)^{\psi(0)^{\omega^{\omega^3}}}}(3)=......
到這裏我已經失去了想象每一個數位間差距的能力，或者說早就失去了。 f_{\psi(1)}(4) 和 f_{\psi(1)}(3) 之間究竟差了多遠？無法想象。
【但有趣的是，我們又可以說， f_{\psi(1)}(4) 和 f_{\psi(1)}(3) 是基本相等的。因為你看，他們只不過是一個自變量取3一個自變量取4而已呀，後面還有5、6、7、8...乃至 f_{\psi(1)}(3) 本身呢。而且就算再套兩次娃，達到 f_{\psi(1)+1}(3) ，好像 \psi(1) 和 \psi(1)+1 也沒什麽區別呀？畢竟從 \psi(0) 到 \psi(1) 都有不知道多少個無限的+1了。】
還是先繼續前進吧。有了 \psi(0) 與 \psi(1) ，我們理所當然的可以有任何自然數的 \psi(n) ，在這之上，我們還可以有 \psi(\omega) ，它可以把 \psi() 內的數位變成自變量。
f_{\psi(\omega)}(3)=f_{\psi(3)}(3)=f_{\psi(2)^{\psi(2)^{\psi(2)}}}(3)=...\\ f_{\psi(\omega)}(100)=f_{\psi(100)}(100)=...
就像最開始的那樣， \omega 不是終點， \psi(\omega) 自然也不是，它之後還可以有 \psi(\omega+1) 。同樣如同展開 f_{\omega+1}(n) 那樣， f_{\psi(\omega+1)}(n) 也不是 f_{\psi(n+1)}(n) 而是 f_{\psi(\omega)^{\psi(\omega)^{\psi(\omega)^{.^{.^{.^{\psi(\omega)}}}}}}}(n) 。
\psi() 的內部開始不斷地增加，就如同 \omega 到 \psi(0) 一樣， \psi() 的內部也到達了 \psi(0)
即： \psi(\psi(0)) ，展開例子如下：
f_{\psi(\psi(0))}(n)=f_{\psi(\omega^{\omega^{\omega^{.^{.^{.^{\omega}}}}}})}(n)\\ f_{\psi(\psi(0))}(3)=f_{\psi(\omega^{\omega^{\omega}})}(3)=f_{\psi(\omega^{\omega^{3}})}(3)=...
即然 \psi() 內部可以變成 \psi(0) ，那這個內部的 \psi() 裏面自然也可以變成 \psi(0) ，即:\psi(\psi(\psi(0)))
如此可以重復直至 \psi() 巢狀了無限層，即 \psi(\psi(\psi(...\psi(0)))) 。還能繼續嗎？當然可以！接下來我們要引入一個新的東西以及 OCF 的第三個規則。
那就是 Ω 以及 Ω 的展開方式。
Ω 是最小的非遞迴序數，而 \psi(Ω) 定義為......又要開始聽不懂的東西了，老規矩，統統不管！我們只關註這東西怎麽用就行了。
我們把 Ω 看做一個「折疊符號」即可。
誰的折疊符號？答：包含它的那個 \psi 函式的。
它折疊什麽東西？答：包含它的那個 \psi 函式括弧內部的、除了 Ω 自己以外的其他所有東西。
讓我們來舉例說明這二點，首先，包含它的那個 \psi 函式指的是最近一層的那一個，畢竟我們已經知道了 \psi 函式可以套娃，所以它可以被許多 \psi 函式包含，比如：
\psi(Ω^2+\psi(Ω))\\ 對於內部這個 Ω ，也就是 \psi(Ω^2+\psi(Ω_{看我看我})) ，它被兩個 \psi 函式包含著，而內部這個 \psi 離它最近，所以它是內部這個 \psi 的折疊符號： \psi(Ω^2+\psi_{是我的}(Ω_{看我看我})) 。
然後，它折疊除了它自己以外的其他所有東西。什麽意思呢？
1、我們看它對應的 \psi 和 \psi 的括弧裏都有什麽東西： \psi_{是我的}(Ω_{看我看我})
2、去掉 Ω 它自己還剩下： \psi_{是我的}() ，於是它就折疊這些內容，折疊無限層：
\psi_{是我的}(\psi_{是我的}(\psi_{是我的}(\psi_{是我的}(...))))\\ 最內層如果是空的，我們就給它補一個0： \psi_{是我的}(\psi_{是我的}(\psi_{是我的}(...\psi_{是我的}(0))))
所以最初的式子展開即為：
\psi(Ω^2+\psi(Ω))=\psi(Ω^2+\psi(\psi(\psi(...\psi(0)))))\\ 把它放進 FGH 裏面，就是自變量是多大，就展開多少層——這句話好像說過好多次了。
細心的朋友就發現了，我們先前的終點 \psi(\psi(\psi(...\psi(0)))) 就可以寫成 \psi(Ω) 。
我們可以這樣按「三步走」的方式說明 Ω 的展開：
第一步：找到要展開的 Ω 所對應的 \psi 函式
第二步：把要展開的 Ω 變成一個方框，比如上面的例子 \psi(Ω^2+\psi(□))
第三步：不斷地用對應的 \psi 函式和它內部剩下的東西替換掉方框：
第1次替換：\psi(Ω^2+\psi(\psi(□)))\\ 第2次替換：\psi(Ω^2+\psi(\psi(\psi(□))))\\ 第3次替換：\psi(Ω^2+\psi(\psi(\psi(\psi(□)))))\\ ...
這樣進行無限次（在 FGH 中就是自變量的數值那麽多次），就是它的展開了。
而更細心的朋友則註意到了，我在例子中寫了一個 Ω^2 這樣的東西。這說明， Ω 這個「折疊符號」也可以做運算！ \psi(Ω+1) 這個東西是存在的，它可以直接用 OCF 的第二條規則展開。
\psi(Ω+1)=\psi(Ω)^{\psi(Ω)^{\psi(Ω)^{.^{.^{.^{\psi(Ω)}}}}}}\\ Ω 與自然數或者之前提到的 \omega 以及 \psi() 的運算的展開方式是一模一樣的：f_{\psi(Ω+\omega)}(3)=f_{\psi(Ω+3)}(3)=f_{\psi(Ω+2)^{\psi(Ω+2)^{\psi(Ω+2)}}}(3)\\ f_{\psi(Ω+\psi(1))}(3)=f_{\psi(Ω+\psi(0)^{\psi(0)^{\psi(0)}})}(3)=f_{\psi(Ω+\psi(0)^{\psi(0)^{\omega^{\omega^\omega}}})}(3)=f_{\psi(Ω+\psi(0)^{\psi(0)^{\omega^{\omega^3}}})}(3)\\ 接下來讓我們來看一個最簡單的 Ω 與 Ω 運算應該怎麽展開：
\psi(Ω×2)=\psi(Ω+Ω)\\ 就和把 \omega 變成自變量是有順序的一樣，展開 Ω 也要按順序展開。上面裏我們要展開的就是它：
\psi(Ω+Ω_{就是我})\\ 按照我們三步走第一步，找到它對應的 \psi 函式，就是包含他、且離它最近的那一個，當然就是唯一的這一個了：
\psi_{我包含他且離它最近}(Ω+Ω_{就是我})\\ 第二步，把要展開的 Ω 變成方框：
\psi_{我包含他且離它最近}(Ω+□)\\ 第三步，用對應的 \psi 函式以及 \psi 函式裏剩下的東西替換掉方框：
原式：\psi_{都知道是我了就不一直說了}(Ω+□)\\ 第1次替換:\psi_{記住我啊}(Ω+\psi_{記住我啊}(Ω+□))\\ 第2次替換:\psi(Ω+\psi(Ω+\psi(Ω+□)))\\ 第3次替換:\psi(Ω+\psi(Ω+\psi(Ω+\psi(Ω+□))))\\ ...\\ 直到最後一次，最內層的□給它去掉(如果最內層是空的，就補個0):\\ \psi(Ω+\psi(Ω+\psi(Ω+\psi(Ω+...\psi(Ω)))))
這樣，展開就完成了。讓我們把它放進 FGH 裏看看：
f_{\psi(Ω×2)}(3)=f_{\psi(Ω+Ω)}(3)=f_{\psi(Ω+\psi(Ω+\psi(Ω)))}(3)=f_{\psi(Ω+\psi(Ω+\psi(\psi(\psi(0)))))}(3)\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~=f_{\psi(Ω+\psi(Ω+\psi(\psi(\omega^{\omega^{\omega}}))))}(3)=......
聰明的小夥伴又註意到了：我們所折疊、替換的東西，是包括加號，也就是「+」這個運算子號的。那麽乘號，也就是「×」呢？當然也是一樣的！來看：
\psi(Ω^2)=\psi(Ω×Ω)\\ 三步走第一步，找到要展開的 Ω 和它對應的 \psi 函式：
\psi(Ω^2)=\psi_我(Ω×Ω_我)\\ 三步走第二步，把要展開的 Ω 變成方框，：
\psi(Ω^2)=\psi_我(Ω×□)\\ 三步走第三步，用對應的 \psi 函式和它裏面剩下的東西不斷地替換掉方框：
\psi(Ω×□)\\ \psi(Ω×\psi(Ω×□))\\ \psi(Ω×\psi(Ω×\psi(Ω×□)))\\ ......\\ 最終就得到了它的展開式：
\psi(Ω^2)=\psi(Ω×\psi(Ω×\psi(Ω×...\psi(Ω))))\\ 再來一個混合型的：
\psi(Ω^2+Ω)\\
第一步，找 Ω 和它的對應 \psi 函式，大家應該都很熟練了。
第二步，變成方框：
\psi(Ω^2+□)\\
第三步，不斷地替換掉方框：
\psi(Ω^2+□)\\ \psi(Ω^2+\psi(Ω^2+□))\\ \psi(Ω^2+\psi(Ω^2+\psi(Ω^2+□)))\\ \psi(Ω^2+\psi(Ω^2+\psi(Ω^2+\psi(Ω^2+□))))\\ ......\\ 再來一個混合型的混合型：
\psi(Ω^2×2)\\ 這裏，我們先把這個 Ω 的運算拆開，就像拆開 \omega 的運算那樣：
\psi(Ω^2×2)=\psi(Ω^2+Ω^2)=\psi(Ω^2+Ω×Ω)\\ 於是我們要展開的就是它了：
\psi(Ω^2×2)=\psi(Ω^2+Ω^2)=\psi(Ω^2+Ω×Ω_我)\\ 老規矩，不要看這裏加號乘號混在一起，就一個字：不管！我們直接變方框再接替換：
\psi(Ω^2+Ω×□)\\ \psi(Ω^2+Ω×\psi(Ω^2+Ω×□))\\ \psi(Ω^2+Ω×\psi(Ω^2+Ω×\psi(Ω^2+Ω×□)))\\ \psi(Ω^2+Ω×\psi(Ω^2+Ω×\psi(Ω^2+Ω×\psi(Ω^2+Ω×□))))\\ ......\\ 最後再來看看指數上的 Ω ：\psi(Ω^Ω)
一樣是老規矩！變方框： \psi(Ω^□) ，再接替換：
\psi(Ω^□)\\ \psi(Ω^{\psi(Ω^□)})\\ \psi(Ω^{\psi(Ω^{\psi(Ω^□)})})\\ \psi(Ω^{\psi(Ω^{\psi(Ω^{\psi(Ω^□)})})})\\ ......\\
指數上的運算：
\psi(Ω^{Ω+1})=\psi(Ω^{Ω}×Ω)=\psi(Ω^{Ω}×\psi(Ω^{Ω}×\psi(Ω^{Ω}×\psi(Ω^{Ω}×...))))
指數上的Ω與Ω的運算：\psi(Ω^{Ω×2})=\psi(Ω^{Ω+Ω})\\ 先變成方框：
\psi(Ω^{Ω+□})\\ 再替換：
\psi(Ω^{Ω+□})\\ \psi(Ω^{Ω+\psi(Ω^{Ω+□})})\\ \psi(Ω^{Ω+\psi(Ω^{Ω+\psi(Ω^{Ω+□})})})\\ \psi(Ω^{Ω+\psi(Ω^{Ω+\psi(Ω^{Ω+\psi(Ω^{Ω+□})})})})\\ ......\\ 稍微有些復雜的混合型： \psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)})\\ 不管再復雜都是一樣的先找對應的 \psi ，再變成方框：
\psi_{不是我，我沒裏面那個近}(Ω^{Ω^2×\psi_{註意哦，我才是包含它且離它最近的\psi}(Ω^Ω+□)})\\
最後替換：
\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+□)})\\ \psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+\psi(Ω^Ω+□))})\\ \psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+\psi(Ω^Ω+\psi(Ω^Ω+□)))})\\ \psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+\psi(Ω^Ω+\psi(Ω^Ω+\psi(Ω^Ω+□))))})\\ ......\\ 最後再來一個有些復雜的混合型：
\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^Ω)\\
\psi_{這次是我了，裏面那個\psi沒包含要展開的那家夥}(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^{Ω_{要展開的是我}})\\ 標註一下，別找錯了 Ω 和它對應的 \psi 。然後還是變方框再接替換：
\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^□)\\ \psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^□)})\\ \psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^□)})})\\ \psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^Ω+Ω)}+Ω^□)})})})\\ ......\\ 於是，在寫了這麽一大篇之後，我們終於可以表示 TREE(3) 的一個較好的下界了：
TREE(3)>f_{\psi(Ω^{Ω^\omega}×4)×\psi(Ω^{Ω^\omega})}(f_{\psi(Ω^{Ω^\omega})}(f_{\psi(Ω^{Ω^\omega})}(3)+1))\\~\\ ~\\~\\~\\ps：嚴格來說，應該是f_{\psi(Ω^{Ω^\omega}×4)×\psi(Ω^{Ω^\omega})}(tree(tree(3)+1))\\ 最最後，讓我們嘗試展開一下最裏面的這個 f_{\psi(Ω^{Ω^\omega})}(3) ：
f_{\psi(Ω^{Ω^\omega})}(3)=f_{\psi(Ω^{Ω^3})}(3)=f_{\psi(Ω^{Ω^2×Ω})}(3)=f_{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω^2})})})}(3)\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~=f_{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω×Ω})})})}(3)=f_{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{Ω})})})})})}(3)\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~=f_{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{\psi(Ω^{\psi(Ω)})})})})})})}(3)=f_{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{\psi(Ω^{\psi(\psi(\psi(0)))})})})})})})}(3) ~~~~~~~~~~~~~~~~=f_{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{\psi(Ω^{\psi(\psi(\omega^{\omega^{\omega}}))})})})})})})}(3)\\=f_{\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω^2×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{Ω×\psi(Ω^{\psi(Ω^{\psi(\psi(\omega^{\omega^{3}}))})})})})})})}(3)\\ =......
失敗了，展開它至 α+1 的形式是不可能的，因為需要的步數太大了。
事實上，即便是 f_{\psi(Ω^{Ω+1})}(3) ，僅僅是將它展開至 f_{α+1}(3) 的形式所需的步數——
註意！
是展開它所需要的步數而不是它的具體數值本身，僅僅是這個步數——
就已經超過了葛立恒數和 A^{A(187196)}(1) 。
本回答所講的 FGH 和 OCF 均不是它們原本的定義，也不是正確的定義，是一個非常不嚴謹的、只是為了講解 TREE(3) 有多大而閹割出來的版本。
