1.關於「不存在一個時刻，使時針、分針、秒針互呈120°」的命題及其證明
設:
時針運動方程式為 \theta_{1}=\omega_{1}t
分針運動方程式為 \theta_{2}=\omega_{2}t
秒針運動方程式為 \theta_{3}=\omega_{3}t
其中時間 t 以min為單位，則有
\omega_{1}=\frac{360^{°}}{12\times60min}=0.5^{°}/min
\omega_{2}=\frac{360^{°}}{60min}=6^{°}/min
\omega_{3}=\frac{360^{°}}{1min}=360^{°}/min
假設存在題述情形，即三針在某時刻互呈120°分布，則存在兩類情形：
(1) 從秒針所在位置順時針看去，依次為分針、時針；
(2) 從秒針所在位置順時針看去，依次為時針、分針。
有方程式組(a)：
\theta'_{3}=\theta_{0}+\omega_{3}t
\theta'_{2}=\theta_{0}\pm 120^{°}+360^{°}k_{1}+\omega_{2}t
\theta'_{1}=\theta_{0}\mp 120^{°}+360^{°}k_{2}+\omega_{1}t
其中， k_{1},k_{2}\in Z 。
對情形(1)，方程式組(a)第二個方程式中120°前取加號，第三個方程式120°前取減號；
對情形(2)，方程式組(a)第二個方程式中120°前取減號，第三個方程式120°前取加號。
令 \theta'_{1}=\theta'_{2}=\theta'_{3} ，聯立得不定方程式(b)：
t=\frac{\pm 240+720k}{11}
其中 k=k_{2}-k_{1}\in Z
由於表盤內容以 12h (即 720min )為最小正周期，因此將 t 範圍限制為 [0,720min]
解不等式 0\leq \frac{\pm 240+720k}{11}\leq 720
對情形(1)，解得 k=0,1,2,...,10
對情形(2)，解得 k=1,2,3,...,11
因此，滿足情形(1)對應不定方程式的時刻在12小時內共出現11次，分別為：
| 序號(n=k+1) | 時 | 分 | 秒 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 21 | 49.[09] |
| 2 | 1 | 27 | 16.[36] |
| 3 | 2 | 32 | 43.[63] |
| 4 | 3 | 38 | 10.[90] |
| 5 | 4 | 43 | 38.[18] |
| 6 | 5 | 49 | 5.[45] |
| 7 | 6 | 54 | 32.[72] |
| 8 | 8 | 0 | 0 |
| 9 | 9 | 5 | 27.[27] |
| 10 | 10 | 10 | 54.[54] |
| 11 | 11 | 16 | 21.[81] |
（註：此處中括弧表示無限迴圈小數的迴圈節，下同。）
滿足情形(2)對應不定方程式的時刻在12小時內共出現11次，分別為：
| 序號(n=k) | 時 | 分 | 秒 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 43 | 38.[18] |
| 2 | 1 | 49 | 5.[45] |
| 3 | 2 | 54 | 32.[72] |
| 4 | 4 | 0 | 0 |
| 5 | 5 | 5 | 27.[27] |
| 6 | 6 | 10 | 54.[54] |
| 7 | 7 | 16 | 21.[81] |
| 8 | 8 | 21 | 49.[09] |
| 9 | 9 | 27 | 16.[36] |
| 10 | 10 | 32 | 43.[63] |
| 11 | 11 | 38 | 10.[90] |
由於不定方程式(b)成立為方程式組(a)成立的必要不充分條件，因此上述22個解僅滿足不定方程式(b)，即僅能保證 k_{2}-k_{1} 為整數，不一定滿足方程式組(a)，即保證 k_{1},k_{2} 同時為整數。需要對上述解進行一次驗證。
以情形(1) k=0 時為例，令 \theta_{0}=0 ，解得 k_{1}=k_{2}=\frac{697}{33} ，不滿足約束條件，故舍去。
而事實上此時有：
\theta_{1} mod 360^{°}=\omega_{1} t mod 360^{°}=10.[90]^{°}
\theta_{2} mod 360^{°}=\omega_{2} t mod 360^{°}=130.[90]^{°}
\theta_{3} mod 360^{°}=\omega_{3} t mod 360^{°}=294.[54]^{°}
不滿足題目要求。
同理可驗證其余21個解 均不滿足 要求，方程式組(a)無解。
Q.E.D
2.最接近題目要求的近似解求解
設時針與分針夾角為 \delta_{1} ，分針與秒針夾角為 \delta_{2} ，時針與秒針夾角為 \delta_{3} ，並將其範圍限制於 [0,180^{°}] 區間，定義偏差 e(t)=\sum_{i=1}^{3}{|\delta_{i}(t)-120^{°}|} ，以 1ms 為步長進行遍歷搜尋偏差最小的時刻。
clear
;
omega_1
=
0.5
;
omega_2
=
6
;
omega_3
=
360
;
t
=
1
/
60000
:
1
/
60000
:
720
;
theta_1
=
omega_1
*
t
;
theta_2
=
omega_2
*
t
;
theta_3
=
omega_3
*
t
;
delta_1
=
180
-
abs
(
180
-
mod
((
theta_2
-
theta_1
),
360
));
% 感謝 @曹洪洋 朋友為程式碼最佳化作出的貢獻
delta_2
=
180
-
abs
(
180
-
mod
((
theta_3
-
theta_2
),
360
));
delta_3
=
180
-
abs
(
180
-
mod
((
theta_3
-
theta_1
),
360
));
e
=
abs
(
delta_1
-
120
)
+
abs
(
delta_2
-
120
)
+
abs
(
delta_3
-
120
);
[
~
,
I
]=
min
(
e
);
T
=
t
(
I
);
h
=
floor
(
T
/
60
);
m
=
floor
(
T
-
60
*
h
);
s
=
60
*
(
T
-
60
*
h
-
m
);
基於所定義的偏差，套用MATLAB進行數值求解可以得出：
在0~12時範圍內，最接近題目要求的一個近似解為 2時54分34秒548毫秒 ，此時時針與分針夾角約為 119.8331^{°} ，分針與秒針夾角約為 120.1668^{°} ，時針與秒針夾角約為 120.0001^{°} 。由於映像對映不改變指標之間夾角，因此從初始條件（0時整）出發，指標逆時針旋轉相同的角度對應的時刻 9時5分25秒452毫秒 也是此種偏差定義下的最優解。
另據 @xiaomm8341 朋友向我提出，套用Mathematica可以得到這兩個答案的精確值： 2 時 54 分 34\frac{394}{719} 秒和 9 時 5 分 25\frac{325}{719} 秒。這樣，對應的指標夾角分別最佳化為 119.8331^{°} , 120.1669^{°} , 120^{°} 。
由於題目並未規定最優解的指標，因此依本人觀點，指標的確定可以是見仁見智的。除前述偏差定義方式外，也可以變異數、標準差抑或是其他量作為尋找最優解的指標。基於不同指標，搜尋到的最優解可能會不盡相同。
3.關於題目描述的討論
根據題主的題目描述：「如果手表的時針、分針、秒針都是連續勻速轉動的，即不是整格走的，可以找到一天中的某個時間，時針、分針、秒針兩兩互為 120^{°} 麽？容許秒不為整數，但不可為無理數。那麽有沒有這樣的時間呢？假設在零點整三針重合。如果沒有的話，那最接近 120^{°} 的時間在哪裏？」上述結論成立的前提是： 時針、分針、秒針連續運動 。事實上，機械鐘表采用齒輪傳動，所以指標運動方式為步進式。但是在步距角趨於0的極限條件下，指標可以近似為連續運動，也就適用於上述前提了。對於指標連續的鐘表，在整個實數體都不存在夾角互為 120^{°} 的時刻，更遑論無理數集了。
相信以上兩節內容已經可以解釋題主的疑惑了。這一節將針對評論區部份朋友提出的「附加題」進行歸納和解答。
（1） 存在一種鐘表，其秒針每秒步進 6^{°} ，而分針和時針連續運動。對於這種鐘表，存在如題述的時刻嗎？
不存在。
這是因為：如果只有秒針離散的話，那麽秒針所在位置角度必為6的倍數；又因為分針和秒針相差 120^{°} ，所以分針所在位置也必為6的倍數。分針的這個位置，對應著整分鐘的時刻，也就是說此時秒針必指向「12」，這是 前提 。那麽分針和時針必分別指向「4」和「8」，這是 假設 。而時針指向整數位置時必須為整小時的時刻，分針必不可能指向「12」以外的位置，這是基於假設的 推論 。這樣，前後出現了 矛盾 。所以在秒針離散，時針和分針連續的情形下，三針互呈 120^{°} 的時刻也是不存在的。
（2） 存在一種鐘表，其秒針每秒步進 6^{°} ，分針每分鐘步進 6^{°} ，時針每12分鐘步進 6^{°} 。對於這種鐘表，存在如題述的時刻嗎？
存在。
例如：0時21分41秒，就是一個滿足題目要求的解。
