跑車跑一圈圓形跑道或一般曲線跑道的最短耗時
1、抗傾覆條件
慣性離心力引起的傾覆力矩應不超過跑車自身的抗傾覆力矩。記跑車重量 mg ，重心位置如圖示，那麽應有：
mgr\cos\theta\geq m\frac{v^2}{R}r\sin\theta
由此解得： v\leq\sqrt{gR\cot\theta}\qquad(1)
2、抗滑移條件
慣性離心力不應超過地面提供的最大摩擦力，故：
\mu mg\geq m\frac{v^2}{R}
因此： v\leq\sqrt{\mu gR}\qquad(2)
綜合式（1）和式（2），得到跑車的理論最大速度：
v_{max}=\sqrt{\min(\cot\theta,\mu)gR}:=\sqrt{\xi gR}
剛才看到知友 @ace zh 提供的相當專業的道路設計資料，實際道路的彎道設計還可能存在一個刻意的外側加高。假設外側加高可以等價為一個道路的初始小傾角 \theta_{0} ，籍此容易得到抗傾覆條件為：
v\leq\sqrt{gR\cot(\theta-\theta_{0})}\qquad(3)
抗滑移條件為：
v\leq\sqrt{ \frac{\mu+\tan\theta_{0}}{1-\mu\tan\theta_{0}}gR}\qquad(4)
易見小傾角 \theta_{0} 的效果，既相當於降低了跑車底盤，也相當於增大了道路摩擦系數，最終提高了跑車的理論最大速度。此時 \xi 系數可以一般地表為：
\xi =\min \left( \frac{\mu+\tan\theta_{0}}{1-\mu\tan\theta_{0}},\cot(\theta-\theta_{0})\right)
3、跑一圈所用的理論最短時間
T_{min}=\int_{0}^{2\pi R}\frac{ds}{v_{max}}=2\pi\sqrt{\frac{R}{\xi g}}
4、舉例
假設某圓形跑道每圈10公裏，即取 2\pi R=10\;km; R\approx1.592\; km; 不設外側加高。 輪胎在瀝青馬路上的摩擦系數通常可取0.6，假設跑車重心足夠低，那麽 \xi=0.6 ，於是有：
T_{min}=\sqrt{\frac{2\pi\times10000 }{0.6\times9.8}}\approx103.37\;(s)\approx1.72\;(min)
極限時速： v_{max}=\sqrt{\xi gR}=\sqrt{0.6\times9.8\times1592}\approx350\;(km/h)
也就是說，不管跑車的動力多麽強勁，它跑一圈這種10 km 跑道，速度不可能超過350 km/h。
5、一般光滑曲線圍成的跑道
令跑道的參數方程式：
x=x(t);y=y(t);\quad(t_{1}\leq t \leq t_{2})
容易計算曲率：
\kappa=\frac{1}{R}=\frac{\ddot{y}\dot{x}-\dot{y}\ddot{x}}{(\dot{x}^2+\dot{y}^2)^{3/2}}
微弧長：
ds=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}dt
跑一圈的理論最短時間：
T_{min}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\frac{ds}{\sqrt{\xi gR}}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{\frac{\ddot{y}\dot{x}-\dot{y}\ddot{x}}{\xi g(\dot{x}^2+\dot{y}^2)^{1/2}}}dt
值得指出，這個最短時間公式也適用於存在零曲率段的跑道。直觀起見，舉一個橢圓跑道的例子，令跑道方程式：
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\rightarrow x=a\cos t;y=b\sin t\;(0\leq t \lt 2\pi)
則跑一圈橢圓軌域的理論最短時間：
T_{min}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\sqrt{\frac{\ddot{y}\dot{x}-\dot{y}\ddot{x}}{\xi g(\dot{x}^2+\dot{y}^2)^{1/2}}}dt
=\sqrt{\frac{ab}{\xi g}}\int_{0}^{2\pi}{\frac{dt}{(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t)^{1/4}}}
6、結語
以上討論未考慮跑車自身動力限制（最大速度）以及空氣阻力因素，這些因素考慮進去， T_{min} 當然還會有所增大。
